Giáo trình

Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Mathematics and Statistics

Họ các nhóm điểm T, Th, Td

Tác giả: Nguyễn Văn Hiệu

Họ này có ba nhóm, trong đó TTd là các nhóm đối xứng của hình tứ diện đều, còn Th có một số yếu tố là các phép đối xứng của hình tứ diện đều.

1) Nhóm các phép quay không làm thay đổi vị trí củ một hình tứ diện đều, mà chỉ làm cho các đỉnh của nó đổi chỗ cho nhau, gọi là nhóm T. Để thấy được rõ hơn các phép quay nào là phép quay đối xứng của hình tứ diện đều ta vẽ hình này lồng vào trong một hình lập phương (hình 3.18a).

Trong các phép quay C2 quanh ba trục quay mà mỗi trục đi qua tâm điểm O của hình lập phương và qua hai tâm điểm của hai hình vuông là hai mặt bên song song với nhau của hình lập phương thì tứ diện đều không thay đổi vị trí. Hình tứ diện đều cũng đối xứng với các phép quay C3C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {}quanh bốn trục quay đi qua tâm điểm O của hình lập phương và bốn cặp đỉnh xuyên tâm đối của nó. Các trục quay này đi qua tâm điểm của các hình tam giác đều là các mặt bên của hình tứ diện đều. Vậy nhóm T có 12 yếu tố sau đây: E, 3C2, 4C3, 4 C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {}. Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C2 và bốn trục quay C3. Để lập bảng nhân nhóm ta hãy viết ra các ma trận của các phép quay thuộc nhóm T. Từ tâm điểm O của hình lập phương ta hãy kẻ ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz trực giao với ba mặt bên kề nhau của hình lập phương và vẽ ba vectơ đơn vị ex, ey, ez dọc theo ba trục tọa độ này. Các trục tọa độ đồng thời là ba trục quay C2 của nhóm T. Ta ký hiệu các phép quay tương ứng là C2(ex) C2(ey) C2(ez). Các phép quay này biến đổi các vectơ đơn vị như sau:

C2 (ex ) : ex size 12{ rightarrow } {} ex , ey size 12{ rightarrow } {} ey , ez size 12{ rightarrow } {} ez ;

C2 (ey ) : ex size 12{ rightarrow } {} - ex , ey size 12{ rightarrow } {} ey , ez size 12{ rightarrow } {} - ez ;

C 2 (e z ) : e x size 12{ rightarrow } {} - e x , e y size 12{ rightarrow } {} - e y , e z size 12{ rightarrow } {} e z .

Do đó các phép quay này có các ma trận sau đây:

Ta chọn vectơ

n1 = x + y + z

làm một trục quay C3 (hình 3.18b) và ký hiệu các phép quay của nhóm C3 quanh trục này là C3(n1) và C3(n1)2 = C3(n1)-1. Sau mỗi phép quay C2(ex) C2(ey) C2(ez) vectơ n1 chuyển thành các vectơ sau đây:

C2(ex) : n1 size 12{ rightarrow } {}n2 = ex + (- ey) + (-ez);

C2(ey) : n1 size 12{ rightarrow } {}n3 = (-ex) + ey + (-ez);

C2(ez) : n1 size 12{ rightarrow } {}n4 = (-ex) + (- ey) + ez .

Bốn vectơ n1, n2, n3, n4 là bốn trục quay C3 của nhóm T. Trong các phép quay C3 quanh bốn trục này các vectơ đơn vị biến đổi như sau:

C3 (n1) : ex size 12{ rightarrow } {} ey, ey size 12{ rightarrow } {} ez , ez size 12{ rightarrow } {} ex ,

C3 (n2 ) : ex size 12{ rightarrow } {} - ey , ey size 12{ rightarrow } {} ez , ez size 12{ rightarrow } {} - ex ,

C3 (n3 ) : ex size 12{ rightarrow } {} - ey , ey size 12{ rightarrow } {} - ez , ez size 12{ rightarrow } {} ex ,

C3 (n4) : ex size 12{ rightarrow } {}ey, ey size 12{ rightarrow } {}- ez, ez size 12{ rightarrow } {}- ex.

Vậy các phép quay C3 của nhóm T có các ma trận

Lấy bình phương các ma trận (28), ta thu được ma trận của các phép quay C32=C31 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } `=`C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}cụ thể là

Bằng cách nhân các ma trận xác định bởi các công thức (27), (28), (29) từng đôi một, ta suy ra các quy tắc nhân nhóm. Thí dụ

Cuối cùng ta hãy xét xem nhóm T gồm bao nhiêu lớp các yếu tố liên hợp, và đó là những lớp nào. Yếu tố đơn vị E là một lớp. Để tìm lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố C2(ex) ta hãy dùng các biểu thức (27), (28), (29) của các yếu tố của nhóm T và tính tất cả các tích có dạng g -1C2(ex) với mọi yếu tố g của nhóm này. Thí dụ như nếu ta lấy gC3(n1), C3(n2), C3(n3), C3(n4) thì ta có

còn nếu lấy gC3(n1)-1, C3(n2)-1, C3(n3)-1, C3(n4)-1 thì ta thu được

Ngoài ra từ các hệ thức (30a) ta có ngay

Các biểu thức (31a) – (31c) của các yếu tố g -1C2(ex)g cũng như các biểu thức của các yếu tố g -1C2(ey)gg -1C2(ez) g mà ta có thể xác lập một cách tương tự chứng tỏ rằng ba phép quay C2C2(ex), C2(ey), C2(ez) tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Để tìm lớp các yếu tố liên hợp với C3(n1) ta hãy tính tất cả các tích có dạng g-1C3(n1)g với mọi yếu tố g của nhóm T. Ta có

Các hệ thức trên chứng tỏ rằng bốn phép quay C3C3(n1), C3(n2), C3(n3), C3(n4) liên hợp với nhau và tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Lấy nghịch đảo cả hai vế của mỗi hệ thức trong số tất cả các hệ thức (32a), (32b), (32c) ta thu được các hệ thức chứng tỏ rằng bốn phép quay C32=C31 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } `=`C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}C3(n1)-1, C3(n2)-1, C3(n3)-1, C3(n4)-1 liên hợp với nhau và tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Vậy nhóm T chia thành bốn lớp các yếu tố liên hợp;

C1 = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {} , C2 = C 2 ( e x ) C 2 ( e y ) C 2 ( e z ) size 12{ left lbrace C rSub { size 8{2} } \( e rSub { size 8{x} } \) " C" rSub { size 8{2} } \( e rSub { size 8{y} } \) " C" rSub { size 8{2} } \( e rSub { size 8{z} } \) right rbrace } {} ,

C3 = C 3 ( n 1 ) , C 3 ( n 2 ) , C 3 ( n 3 ) , C 3 ( n 4 ) size 12{ left lbrace C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{1} } \) ,`C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{2} } \) ,`C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{3} } \) ,`C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{4} } \) right rbrace } {} ,

C 4 = C 3 ( n 1 ) 2 , C 3 ( n 2 ) 2 , C 3 ( n 3 ) 2 , C 3 ( n 4 ) 2 size 12{ left lbrace C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{1} } \) rSup { size 8{2} } ,`C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{2} } \) rSup { size 8{2} } ,`C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{3} } \) rSup { size 8{2} } ,`C rSub { size 8{3} } \( n rSub { size 8{4} } \) rSup { size 8{2} } right rbrace } {} ,

Ta cũng có thể thu được kết quả này một cách nhanh chóng mà không cần phải sử dụng hang loạt công thức (30a)-(32c), nếu ta áp dụng mệnh đề sau đây: nếu trong một nhóm G có hai phép quay Ck(φ) size 12{C rSub { size 8{k} } \( ϕ \) } {}, Cl(φ) size 12{C rSub { size 8{l} } \( ϕ \) } {}cùng một góc φ size 12{ϕ} {}quanh hai trục k, l và một phép quay R chuyển trục nọ thành trục kia,

k = Rl, RG,

Ck(φ) size 12{C rSub { size 8{k} } \( ϕ \) } {}G, Cl(φ) size 12{C rSub { size 8{l} } \( ϕ \) } {}G,

thì hai phép quay Ck(φ) size 12{C rSub { size 8{k} } \( ϕ \) } {}Cl(φ) size 12{C rSub { size 8{l} } \( ϕ \) } {} liên hợp với nhau. Ta có thể chứng minh mệnh đề này giống như đã chứng minh một mệnh đề tương tự đối với nhóm quay SO(3) trong Chương I. Hai trục quay kl trong mệnh đề nói trên là hai trục quay tương đương. Trong trường hợp nhóm T ba trục quay ex , ey , ez của các phép quay C2 tương đương với nhau, bốn trục quay n1, n2, n3, n4 của các phép quay C3C32 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } } {}cũng tương đương với nhau, lớp C2 gồm ba phép quay cùng một góc π size 12{π} {} quanh ba trục tương đương, lớp C3 gồm ba phép quay góc 3 size 12{ { {2π} over {3} } } {}quanh bốn trục tương đương và C4 gồm bốn phép quay góc 3 size 12{ { {4π} over {3} } } {}quanh bốn trục tương đương.

2) Nhóm Th là tích trực tiếp của nhóm T và nhóm Ci:

Th = T size 12{⊗} {} Ci

Nhóm này gồm 24 yếu tố: 12 phép quay không thay đổi vị trí của một hình tứ diện đều và 12 phép quay – nghịch đảo mà mỗi phép quay – nghịch đảo là tổ hợp của một phép quay nói trên và phép nghịch đảo i đối với tâm điểm của hình tứ diện. Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C2, bốn trục quay C3 và tâm nghịch đảo i. Nhóm Th gồm tám lớp các yếu tố liên hợp:

C1 = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {} , C2 = 3C 2 size 12{ left lbrace "3C" rSub { size 8{2} } right rbrace } {} ,C3 = 4C 3 size 12{ left lbrace "4C" rSub { size 8{3} } right rbrace } {} , C4 = 4C 3 2 size 12{ left lbrace "4C" rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } right rbrace } {} ,

C5 = i size 12{ left lbrace i right rbrace } {} , C6 = 3iC 2 size 12{ left lbrace "3iC" rSub { size 8{2} } right rbrace } {} , C7 = 4iC 3 size 12{ left lbrace "4iC" rSub { size 8{3} } right rbrace } {} , C8 = 4iC 3 2 size 12{ left lbrace "4iC" rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } right rbrace } {} .

Vì phép nghịch đảo i không phải là phép đối xứng của hình tứ diện, mà lại chuyển hình này sang một vị trí khác, như chúng ta có thể thấy một cách dễ dàng trên hình 3.18a, cho nên Th không phải là nhóm đối xứng của hình tứ diện.

3) Nhóm Td gồm tất cả các phép đối xứng của hình tứ diện và được gọi là nhóm tứ diện (tetrahedral). Các yếu tố của nhóm T đều là các yếu tố của nhóm Td, do đó T là nhóm con của nhóm Td. Nhìn hình vẽ 3.18a ta thấy ngay rằng nếu ta lấy ba trục C4 trùng với ba trục C2 của nhóm T, thực hiện phép quay C4 hoặc C43=C41 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3`} } `=`C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1`} } } {}quanh các trục này rồi thực hiện tiếp luôn phép nghịch đảo i, thì sau cả hai phép biến đổi liên tiếp đó hình tứ diện đều trở về vị trí cũ. Vậy mỗi tổ hợp của phép quay C4 hoặc C41 size 12{C rSub { size 8{4} } rSup { size 8{ - 1`} } } {} với phép nghịch đảo i là một phép đối xứng của hình tứ diện đều và do đó là một yếu tố của nhóm Td. Ta hãy tưởng tượng là có một mặt phẳng σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}chứa hai đường chéo song song với nhau của hai hình vuông là hai mặt bên song song với nhau của hình lập phương. Nhìn hình vẽ 3.18a ta thấy ngay rằng mặt phẳng σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {} này chứa một cạnh của hình tứ diện đi qua trung điểm của một cạnh khác không có đỉnh chung với nó và chia hình tứ diện thành hai phần đối xứng với nhau. Có tất cả sáu mặt phẳng gương loại này. Sáu phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {} qua sáu mặt phẳng gương đó cũng là sáu yếu tố của nhóm Td. Vậy nhóm Td có 24 yếu tố E, 3C2, 4C3, 4C31 size 12{4C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}, 3iC4 size 12{3 ital "iC" rSub { size 8{4} } } {}, 3iC43 size 12{3 ital "iC" rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3} } } {}, d size 12{6σ rSub { size 8{d} } } {}. Chú ý rằng giữa các phép quay Cn, Cn1 size 12{C rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ - 1} } } {} quanh một mặt phẳng chứa trục quay ta có hệ thức

Vì trong nhóm Td có các phép phản xạ gương chứa trục quay cho nên các phép quay C3C31 size 12{C rSub { size 8{3} } rSup { size 8{ - 1} } } {}liên hợp nhau, các phép quay – nghịch đảo iC4iC43 size 12{ ital "iC" rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3} } } {}liên hợp với nhau. Do đó nhóm Td gồm năm lớp các yếu tố liên hợp:

C1 = E size 12{ left lbrace E right rbrace } {} , C2 = 3C 2 size 12{ left lbrace "3C" rSub { size 8{2} } right rbrace } {} ,C3 = 8C 3 size 12{ left lbrace "8C" rSub { size 8{3} } right rbrace } {} = 4C 3 4C 3 -1 size 12{ left lbrace "4C" rSub { size 8{3} } "4C" rSub { size 8{3} } rSup { size 8{"-1"} } right rbrace } {} ,

C4 = 6iC 4 size 12{ left lbrace "6iC" rSub { size 8{4} } right rbrace } {} = 3iC 4 , 3iC 4 3 size 12{ left lbrace "3iC" rSub { size 8{4} } ,`"3iC" rSub { size 8{4} } rSup { size 8{3} } right rbrace } {} , C5 = d size 12{ left lbrace 6σ rSub { size 8{d} } right rbrace } {} .

Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C2, ba trục quay – nghịch đảo iC4, bốn trục quay C3 và sáu mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}.

Đánh giá:
1.0 dựa trên 1 đánh giá
Nội dung cùng tác giả
 
Nội dung tương tự