Giáo trình

Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Mathematics and Statistics

Nhóm Lie và đại số Lie

Tác giả: Nguyễn Văn Hiệu

Khi nghiên cứu về các nhóm SO(3) và SU(2) chúng ta đã thiết lập các hệ thức giao hoán giữa các vi tử của mỗi nhóm này và thấy rằng các vi tử đó tạo thành đại số Lie. Bây giờ chúng ta mở rộng các lý luận đã trình bày khi nghiên cứu về các nhóm SO(3) và SU(2) ra cho trường hợp một nhóm Lie G gồm các phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn những điều kiện nhấy định của một không gian vectơ nào đó và chứng minh rằng các vị tử của nhóm này tạo thành một đại số Lie. Trước hết ta hãy giới thiệu những khái niệm cơ bản về đại số Lie.

Đại số Lie

Cho một không gian vectơ V trên đường R các số thức hoặc trường C các số phức. Ký hiệu các yếu tố của VX, Y, Z… các yếu tố của trường R hoặc Cα,β,γ size 12{α,`β,`γ} {}… Giả sử rằng trên tập hợp V có một quy tắc gọi là phép nhân cho phép ta từ hai yếu tố X, Y bất kỳ của V xác định được một và chỉ một yếu tố thứ ba của V ký hiệu là XY và gọi là tích của XY, mà

X ∙ ( α size 12{α} {}Y) = ( α size 12{α} {}X) ∙ Y = α size 12{α} {} ∙ (XY),

(X + Y) ∙ Z = XZ + YZ,

X ∙ (Y + Z) = XY + X + Z. (38)

Không gian vectơ V với phép nhân hai yếu tố được định nghĩa như thế được gọi là một đại số A. Nếu phép nhân các yếu tố của một đại số có tính chất kết hợp

X ∙ (YZ) = (XY) ∙ Z

thì đại số A được gọi là đại số kết hợp.

Một đại số A với phép nhân hai yếu tố

X , Y size 12{ left lbrace X,`Y right rbrace } {} size 12{ rightarrow } {} X Y size 12{ left (X` and `Y right )} {}

thỏa mã các điều kiện

XY size 12{ left (X` rSub { size 8{ and } } `Y right )} {} = YX size 12{ - ` left (Y` rSub { size 8{ and } } `X right )} {} (phản giao hoán) (39)

XYZ size 12{ left (X` and ` left (Y` and `Z right ) right )} {} + YZX size 12{ left (Y` and ` left (Z` and `X right ) right )} {} + ZXY size 12{ left (Z` and ` left (X` and `Y right ) right )} {} = 0 (40)

(đồng nhất thức Jacobi)

được gọi là một đại số Lie. Cho một đại số kết hợp A với tích của hai yếu tố XY được ký hiệu là X ∙ Y. Trên tập hợp A ta hãy đưa ra một định nghĩa khác của phép nhân hai yếu tố

{} X , Y X Y X , Y = X Y Y X size 12{ left lbrace X,`Y right rbrace rightarrow left (X` and Y right ) equiv left [X,`Y right ]=X cdot Y - Y cdot X} {} (41)

Với định nghĩa mới này của tích hai yếu tố đại số A trở thành một đại số Lie L. Thực vậy, dễ dàng thử lại rằng định nghĩa (41) của tích hai yếu tố thỏa mãn các điều kiện (39) và (40).

Xem như một không gian vectơ mỗi đại số Lie có một hệ các vectơ cơ sở Xi, i = 1, 2,…, s, mà mọi yếu tố X của L đều có thể viết một cách đơn giá dưới dạng

X = i=1sαiXi size 12{ Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{s} } {α rSub { size 8{i} } X rSub { size 8{i} } } } {} (42)

với các hệ số αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {} trong trường số đã cho. Xét hai yếu tố XiXjtùy ý của hệ cơ sở của một đại số Lie L và tích XiXj size 12{ left (X rSub { size 8{i} } ` and `X rSub { size 8{j} } right )} {} của chúng. Vì XiXj size 12{ left (X rSub { size 8{i} } ` and `X rSub { size 8{j} } right )} {} cũng là một yếu tố của đại số L cho nên nó cũng lại phải là một tổ hợp tuyến tính của các yếu tố của hệ cơ sơ, nghĩa là phải có dạng

XiXj size 12{ left (X rSub { size 8{i} } ` rSub { size 8{ and } } `X rSub { size 8{j} } right )} {} = i=1sγijkXk size 12{ Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{s} } {γ rSub { size 8{ ital "ijk"} } X rSub { size 8{k} } } } {} . (43)

Các hệ số γijk size 12{γ rSub { size 8{ ital "ijk"} } } {} được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie L. Từ các điều kiện (39) và (40) suy ra rằng các hằng số cấu trúc γijk size 12{γ rSub { size 8{ ital "ijk"} } } {} thỏa mãn các hệ thức sau đây:

γjik size 12{γ rSub { size 8{ ital "jik"} } } {} = γijk size 12{ - `γ rSub { size 8{ ital "ijk"} } } {} (44)

γilmγikl size 12{γ rSub { size 8{i} rSub { size 8{ ital "lm"} } } `γ rSub { size 8{i} rSub { size 8{ ital "kl"} } } } {} + γjlmγkil size 12{γ rSub { size 8{ ital "jlm"} } `γ rSub { size 8{ ital "kil"} } } {} + γklmγijl size 12{γ rSub { size 8{ ital "klm"} } `γ rSub { size 8{ ital "ijl"} } } {}= 0 (45)

Cho hai đại số Lie L L’ với các yếu tố ký hiệu là X, Y, Z v.v. và X’, Y’, Z’ v.v.. Ta nói rằng đại số Lie L đồng cấu với đại số Lie L’ nếu có phép ánh xạ tuyến tính không gian vectơ L lên không gian vectơ L’,

L size 12{ rightarrow } {}L’,

có tính chất bảo toàn phép nhân của đại số Lie, nghĩa là từ

X size 12{ rightarrow } {}X ’, Y size 12{ rightarrow } {}Y

suy ra

X Y size 12{ left (X` and `Y right )} {} size 12{ rightarrow } {} X ' Y ' size 12{ left (X' and `Y' right )} {}

Nếu phép ánh xạ tuyến tính của đại số Lie L lên đại số Lie L’ là đơn giá theo cả hai chiều

L size 12{↔} {}L

và bảo toàn phép nhân của đại số Lie, thì ta nói rằng hai đại số lie LL’ đẳng cấp với nhau. Sau này chúng ta sẽ không phân biệt các đại số Lie đẳng cấu.

Liên hệ giữa nhóm Lie các phép biến đổi và đại số Lie

Sau khi đã biết một số khái niệm cơ bản về đại số Lie bây giờ chúng ta thiết lập mối liên hệ giữa mỗi nhóm Lie các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ và đại số Lie tương ứng. Trong không gian vectơ đó ta hãy chọn một hệ cơ sở và biểu diễn mỗi phép biến đổi T bằng một ma trận cũng ký hiệu là T và đặt

T = e - iX . (46)

Từ định nghĩa nhóm G suy ra những điều kiện mà ma trận T phải thỏa mãn, rồi từ những điều kiện này suy ra những điều kiện mà ma trận X phải thỏa mãn. Thí dụ như nếu G là nhóm các biến đổi trực giao trong không gian Euclide thì các yếu tố của nó phải là những ma trận trực giao O thỏa mãn điều kiện

O T = O -1

và do đó các ma trận X trong hệ thức

O = e -iX

phải là các ma trận phản giao hoán

X T = -X.

Tương tự như vậy, nếu G là nhóm các biến đổi unita trong một không gian phức thì các yếu tố của nó phải là những mà trận unita U thỏa mãn điều kiện

U + = U -

và do đó các ma trận X trong biểu thức

U = e -iX

phải là các ma trận tự liên hợp

X + = X

Ngoài ra, nếu các ma trận O hoặc U có định thức bằng 1, nghĩa là nếu

det O = 1

hoặc

det U = 1

thì các ma trận X phải có vết bằng không,

Tr X = 0

Trong không gian vectơ các ma trận X thỏa mãn các điều kiện suy ra từ định nghĩa của nhóm G đã cho ta hãy chọn một hệ cơ sở gồm các ma trận độc lập tuyến tính Xi, i = 1, 2, …, s, mà mọi ma trận X đang xét đều có thể được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính (42) của các ma trận Xi của hệ cơ sở này với các hệ số αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}. Ta xét trường hợp các hệ số αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {} là các tham số thực. Các ma trận XT tương ứng với các tham số thực αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}, i = 1, 2, …, s được ký hiệu là X( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) và T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) . Ta có

X( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) = i=1sαiXi size 12{ Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{s} } {α rSub { size 8{i} } X rSub { size 8{i} } } } {} (42')

và theo công thức (46)

T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) = eiiαiXi size 12{e rSup { size 8{ - i Sum cSub { size 6{i} } cSup {} {α rSub { size 6{i} } X rSub { size 6{i} } } } } } {} (47)

Dễ thử lại rằng

iT(α1,α2,...,αs)αi size 12{i { { partial T \( α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } \) } over { partial α rSub { size 8{i} } } } } {}α1=α2=...=αs=0 size 12{ \lline rSub { size 8{`α rSub { size 6{1} } `=`α rSub { size 6{2} } `=` "." "." "." `=`α rSub { size 6{s} } `=`0} } } {}= Xi (48)

cho nên Xi, i = 1, 2, …, s, là các vi tử của nhóm biến đổi G đang xét. Với những giá trị vô cùng bé của các tham số α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}ma trận T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) rất gần ma trận đơn vị và có dạng gần đúng

T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) size 12{ approx } {}I - ijαjXi size 12{i` Sum cSub { size 8{j} } cSup {} {α rSub { size 8{j} } X rSub { size 8{i} } } } {}. (49)

Cho hai ma trận T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) và T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {}) là hai yếu tố của nhóm G và hãy thiết lập ma trận

T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {}) T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {})-1T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {})-1

cũng là một yếu tố trong nhóm G. Bằng cách tính trực tiếp có thể thử lại rằng với những tham số α 1,..., α sβ1,...,βs tất cả đều là vô cùng bé ta có biểu thức gần đúng

T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {}) T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {})-1T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {})-1 size 12{ approx } {}I + (-i)2i,k=1sαjβi size 12{ Sum cSub { size 8{i,`k=1} } cSup { size 8{s} } {α rSub { size 8{j} } β rSub { size 8{i} } } } {}Xj,Xk size 12{ left [X rSub { size 8{j} } ,`X rSub { size 8{k} } right ]} {} . (50)

Vì ma trận này là một yếu tố của nhóm G rất gần ma trận đơn vị cho nên theo công thức (49) nó phải có dạng gần đúng

T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {}) T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {})-1T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {})-1

I i l = 1 s f l ( α 1 , α 1 , . . . , α s ; β 1 , β 2 , . . . , β s ) X l size 12{ approx I - i` Sum cSub { size 8{l=1} } cSup { size 8{s} } {f rSub { size 8{l} } \( α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{1} } ,` "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } ;`β rSub { size 8{1} } ,`β rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`β rSub { size 8{s} } \) } `X rSub { size 8{l} } } {}

trong đó fl(α1,α1,...,αs;β1,β2,...,βs) size 12{f rSub { size 8{l} } \( α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{1} } ,` "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } ;`β rSub { size 8{1} } ,`β rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`β rSub { size 8{s} } \) } {} là hàm của các tham số α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, …, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, …, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {} triệt tiêu khi các tham số α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {} hoặc β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {}đồng thời bằng không. Trong phép gần đúng cấp thấp nhất theo các tham số vô cùng bé α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, …, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, …, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {} ta có thể viết biểu thức của fl(α1,α1,...,αs;β1,β2,...,βs size 12{f rSub { size 8{l} } \( α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{1} } ,` "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } ;`β rSub { size 8{1} } ,`β rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`β rSub { size 8{s} } } {}) ) dưới dạng tổng quát

f l ( α 1 , α 1 , . . . , α s ; β 1 , β 2 , . . . , β s ) size 12{f rSub { size 8{l} } \( α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{1} } ,` "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } ;`β rSub { size 8{1} } ,`β rSub { size 8{2} } ,` "." "." "." ,`β rSub { size 8{s} } \) } {} size 12{ approx } {} i j , k = 1 s α j β k γ jkl size 12{ - i` Sum cSub { size 8{j,k=1} } cSup { size 8{s} } {α rSub { size 8{j} } β rSub { size 8{k} } γ rSub { size 8{ ital "jkl"} } } } {}

với các hệ số không đổi γjkl size 12{γ rSub { size 8{ ital "jkl"} } } {}, thành thử

T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {}) T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {}) T ( α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {},…, αs size 12{α rSub { size 8{s} } } {})-1 T ( β1 size 12{β rSub { size 8{1} } } {}, β2 size 12{β rSub { size 8{2} } } {},…, βs size 12{β rSub { size 8{s} } } {})-1 size 12{ approx } {}

I j,k,l=1sαjβkγjklXl size 12{ - `` Sum cSub { size 8{j,k,l=1} } cSup { size 8{s} } {α rSub { size 8{j} } β rSub { size 8{k} } γ rSub { size 8{ ital "jkl"} } X rSub { size 8{l} } } `} {}. (51)

So sánh hai biểu thức trong vế phải các hệ thức (50) và (51), ta thu được

Xj,Kk size 12{ left [X rSub { size 8{j} } ,`K rSub { size 8{k} } right ]} {} = l=1sγiklXk size 12{ Sum cSub { size 8{l=1} } cSup { size 8{s} } {γ rSub { size 8{ ital "ikl"} } X rSub { size 8{k} } } } {}. (52)

Công thức này chứng tỏ rằng các vi tử Xi, i = 1, 2 , …, s, của nhóm biến đổi G tạo thành một đại số Lie với định nghĩa tích của hai yếu tố của đại số là giao hoán tử của hai ma trận tương ứng.

Đánh giá:
1.0 dựa trên 1 đánh giá
Nội dung cùng tác giả
 
Nội dung tương tự