Giáo trình

Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Mathematics and Statistics

Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide phức 2 chiều

Tác giả: Nguyễn Văn Hiệu

Trong đoạn này chúng ta khảo sát chi tiết về nhóm SU(2) các biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng và có định thức bằng 1 của không gian Euclide phức hai chiều. Nhiều công thức và một số lập luận trình bày dưới đây thường hay được áp dụng khi nghiên cứu những vấn đề trong nhiều lĩnh vực của vật lý lượng tử. Trong hệ vectơ đơn vị cơ sở giao chuẩn hoa smooix phép biến đổi thuộc nhóm SU(2) được diễn tả bởi một ma trận 2 x 2 unita U.

U+ = U-1,

Và có định thức bẳng 1,

det U = 1

Yếu tố đơn vị của nhóm là ma trận đơn vị I. Yếu tố có ma trận bằng U-1 là nghịch đảo của yếu tố có ma trận bằng U.

Để tìm các tham số độc lập cũng như các vi tử tương ứng ta hãy xét các biến đổi vô cùng gần yếu tố đơn vị, nghĩa là các phép biến đổi mà các ma trận có dạng.

U( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) = I – i X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}),

Trong đó ma trận X( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) là đại lượng cấp 1 đối với các tham số thực vô cùng bé δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}. Bỏ qua các số hạng cấp 2, ta có

U(δαi) size 12{ left [U \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}-1 = I + i X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}),

Mặt khác,

U(δαi) size 12{ left [U \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}+ = I + X(δαi) size 12{ left [X \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}+

Từ điều kiện ma trận U( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) phải là ma trận unita

U( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {})-1 = U(δαi) size 12{ left [U \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}+

suy ra rằng ma trận X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) phải tự liên hợp, nghĩa là

X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {})+ = X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}).

Do đó hai yếu tố chéo của ma trận X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) phải là hai số thực

X(δαi) size 12{ left [X \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}jj size 12{ {} rSub { size 8{ ital "jj"} } rSup { size 8{*} } } {} = X(δαi) size 12{ left [X \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}jj, j = 1, 2

Còn hai yếu tố không chéo của ma trận này thì phải liên hợp phức với nhau

X(δαi) size 12{ left [X \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}12 size 12{ {} rSub { size 8{"12"} } rSup { size 8{*} } } {} = X(δαi) size 12{ left [X \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}21

Nếu không đặt thêm điều kiện gì khác thì ma trận tự liên hợp X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) chứa bốn tham số thực độc lập với nhau. Nhưng ta còn có điều kiện định thức của U( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) phải bằng 1. Bỏ qua các số hạng cấp cao ta có

det U(δαi) size 12{ left [U \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {} = 1 – i Tr X(δαi) size 12{ left [X \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {}.

Vậy ma trận X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) phái có vết bằng không

Tr X(δαi) size 12{ left [X \( ital "δα" rSub { size 8{i} } \) right ]} {} = 0

hai yếu tố chéo phải có độ lớn bằng nhau và ngược dấu. Tóm lại, ma trận 2 x 2 tự liên hợp và có vết bằng không X ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) biểu diễn qua bat ham số thực độc lập vo cùng bé δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}, i = 1, 2, 3 và ta có

U ( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) = I i δαisi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } `s rSub { size 8{i} } } {} = I – i δαs size 12{ ital "δα" cdot s} {}

Trong đó các vi tử si, i = 1, 2, 3 là ma trận 2 x 2 tự liên hợp độc lập tuyến tính và có vết bằng không, δα size 12{ ital "δα"} {}là vectơ ba chiều với các thành phần δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}, s là ma trận vectơ ba chiều với các thành phần si. Để cho sau này được thuận tiện ta chọn các ma trận si bằng các ma trận Pauli σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {} nhân với 12 size 12{ { {1} over {2} } } {}:

si = 12 size 12{ { {1} over {2} } } {}σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {}

σ1= 0 1 1 0 , σ2= 0 i i 0 , σ3= 1 0 0 -1

Dễ thử lại rằng các ma trận Pauli đều có bình phương bằng ma trận đơn vị

σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = I size 12{σ rSub { size 8{1} } rSup { size 8{2} } =σ rSub { size 8{2} } rSup { size 8{2} } =σ rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } =I} {} ,

hai ma trận Pauli khác nhau phản giao hoán với nhau và có tích bằng

σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {}σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {} = - σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {}σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {} = iσ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {}, σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {}σ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {}= - σ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {}σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {} = i σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {}, σ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {}σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {} = - σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {}σ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {} = i σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {}.

Các hệ thức của bình phương ma trận Pauli và tích hai ma trận Pauli khác nhau có thể viết gộp lại như sau

σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {}σj size 12{σ rSub { size 8{j} } } {} = δij size 12{δ rSub { size 8{ ital "ij"} } } {}I + iεijk size 12{ε rSub { size 8{ ital "ijk"} } } {}σk size 12{σ rSub { size 8{k} } } {}

Từ đây suy ra các hệ thức giao hoán

[ σ i , σ j ] = 2iε ijk σ k size 12{\[σ rSub { size 8{i} } ,σ rSub { size 8{j} } \]=2iε rSub { size 8{ ital "ijk"} } σ rSub { size 8{k} } } {}

Chia các ma trận σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {} cho 2 ta được các ma trận si thỏa mãn các hệ thức giao hoán giống như các hệ thức giao hoán giữa các vi tử Si của nhóm SO(3), cụ thể là

s i , s j = ijk s k size 12{ left [s rSub { size 8{i} } ,`s rSub { size 8{j} } right ]=iε rSub { size 8{ ital "ijk"} } s rSub { size 8{k} } } {}

Coi các ma trận si, i = 1, 2, 3 là các yếu tố và giao hoán tử si,sj size 12{ left [s rSub { size 8{i} } ,`s rSub { size 8{j} } right ]} {} là tích của hai yếu tố si và sj, ta thiết lập được một đại số Lie của nhóm SU(2). Ta thấy đó cũng chính là đại số Lie của nhóm SO(3) đã thành lập ở trên.

Sau khi đã thu được biểu thức của các biến đổi U( δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}) rất gần yếu tố đơn vị, với các tham số vô cùng bé δαi size 12{ ital "δα" rSub { size 8{i} } } {}, bây giờ các hãy mở rộng các lập luận ở trên để thiết laapjbieeru thức của phép biến đổi bất kỳ U( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) của nhóm SU(2) phụ thuộc vào các tham số thực αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}, có các giá trị hữu hạn. Ta cũng sẽ thấy rằng có ba tham số độc lập. Trước hết ta chú ý rằng mọi ma trận unita U( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) đều có thể viết dưới dạng

U(αi)=eiX(αi) size 12{U \( α rSub { size 8{i} } \) =e rSup { size 8{ - ital "iX" \( α rSub { size 6{i} } \) } } } {},

Trong đó X( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) là ma trận tự liên hợp

X ( α i ) + = X ( α i ) size 12{ left [X \( α rSub { size 8{i} } \) right ] rSup { size 8{+{}} } =X \( α rSub { size 8{i} } \) } {}

Làm một phép biến đổi thích hợp của hệ tọa độ để đưa ma trận tự liên hợp X( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) về dạng chéo, ta có thể chứng minh rằng định thức của ma trận U( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) biểu diễn qua vết của ma trận X(αi) size 12{X \( α rSub { size 8{i} } \) } {}như sau

det U ( α i ) = e 1 Tr X α i size 12{"det" left [U \( α rSub { size 8{i} } \) right ]=e rSup { size 8{ - 1"Tr" left [X left (α rSub { size 6{i} } right ) right ]} } } {}

Từ điều kiện định thức của U( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) phải bằng 1 suy ra rằng vết của ma trận X( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) phải bằng không

X(αi) size 12{ left [X \( α rSub { size 8{i} } \) right ]} {} = 0

Vì rằng có ba ma trận 2 x 2 độc lập tuyến tính, tự liên hợp và có vết bằng không, cho nên ma trận 2 x 2 tự liên hợp có vết bằng không X( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) phụ thuộc vào ba tham số thực αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}, i = 1, 2, 3 và có thể viết như sau

X ( α i ) = 1 2 α i σ i = 1 2 α σ size 12{ left [X \( α rSub { size 8{i} } \) right ]= { {1} over {2} } α rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{i} } `=` { {1} over {2} } `α`σ} {}

Vậy ma trận của phép biến đổi bất kỳ thuộc nhóm SU(2) có dạng tổng quát

U( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) = e12αiσi size 12{e rSup { size 8{ - { {1} over {2} } α rSub { size 6{i} } σ rSub { size 6{i} } } } } {} = e12ασ size 12{e rSup { size 8{ - { {1} over {2} } ital "ασ"} } } {}

Xét các trường hợp khi mà chỉ có một tham số αk size 12{α rSub { size 8{k} } } {} trong ba tham số α1 size 12{α rSub { size 8{1} } } {}, α2 size 12{α rSub { size 8{2} } } {}, α3 size 12{α rSub { size 8{3} } } {} là khác không, còn hai tham số kia bằng không. Ta có

U( αk=φ,αik=0 size 12{α rSub { size 8{k} } `=`ϕ,`α rSub { size 8{i <> k} } `=`0} {}) = U (k)( φ size 12{ϕ} {}) = e12ϕσk size 12{e rSup { size 8{ - { {1} over {2} } ital "ϕσ"k} } } {}

Khai triển hàm mũ thành chuỗi lũy thửa và dùng tính chất

δ2k=1 size 12{δ { {2} over {k} } `=`1} {},

ta thu được

U(k)( φ size 12{ϕ} {}) = n=1 size 12{ Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{ infinity } } {} } {}(1)n(2n)! size 12{ { { \( - 1 \) rSup { size 8{n} } } over { \( 2n \) !} } ``} {}φ22n size 12{ left ( { {ϕ} over {2} } right ) rSup { size 8{2n} } } {}- i σk size 12{σ rSub { size 8{k} } } {}n=1 size 12{ Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{ infinity } } {} } {}(1)n(2n+1)! size 12{ { { \( - 1 \) rSup { size 8{n} } } over { \( 2n+1 \) !} } ``} {}φ22n+1 size 12{ left ( { {ϕ} over {2} } right ) rSup { size 8{2n+1} } } {}= cos φ2 size 12{ { {α} over {2} } } {} - i σk size 12{σ rSub { size 8{k} } } {} sin φ2 size 12{ { {α} over {2} } } {}.

Với k = 1, 2 ta có

Còn với k = 3

Mỗi loạt các phép biến đổi U(k)( φ size 12{ϕ} {}) với k cố định tạo thành một nhóm con một tham số của nhóm SU(2). Các ma trận U(k)( φ size 12{ϕ} {}) là các hàm khả vi của φ size 12{ϕ} {} cho nên nhóm SU(2) là một nhóm Lie.

Bây giờ ta quay lại yếu tố có dạng tổng quát U (αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) và ký hiệu n là vectơ đơn vị hướng theo vectơ α size 12{α} {}

n=αα size 12{n`=` { {α} over {α} } } {}.

Dùng các hệ thức đã viết ở trên đối với tích của các ma trận Pauli, dễ thử lại rằng

σn2=1 size 12{ left (σn right ) rSup { size 8{2} } =1} {}.

Khai triển hàm mũ e12α(σn) size 12{e rSup { size 8{ - { {1} over {2} } α \( σn \) } } } {} thành chuỗi lũy thừa, ta lại thu được

U( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) = n=1 size 12{ Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{ infinity } } {} } {}(1)n(2n)! size 12{ { { \( - 1 \) rSup { size 8{n} } } over { \( 2n \) !} } ``} {}α22n size 12{ left ( { {ϕ} over {2} } right ) rSup { size 8{2n} } } {}- i σn size 12{ left (σn right )} {}n=1 size 12{ Sum cSub { size 8{n=1} } cSup { size 8{ infinity } } {} } {}(1)n(2n+1)! size 12{ { { \( - 1 \) rSup { size 8{n} } } over { \( 2n+1 \) !} } ``} {}α22n+1 size 12{ left ( { {ϕ} over {2} } right ) rSup { size 8{2n+1} } } {} = cos α2 size 12{ { {α} over {2} } } {} - i σk size 12{σ rSub { size 8{k} } } {} sin α2 size 12{ { {α} over {2} } } {}

Vậy biểu thức sau đây của yếu tố bất kỳ của nhóm SU(2)

U( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) = cos α2 size 12{ { {α} over {2} } } {} - iσαα size 12{i` { { ital "σα"} over {α} } } {} sin α2 size 12{ { {α} over {2} } } {}.

Các ma trận thuộc nhóm SU(2) có định thức bằng 1. Nếu ta không đòi hỏi định thức của ma trận 2 x 2 của phép biến đổi unita phải bằng 1 thì ta có nhóm U(2). Bây giờ ma trận X( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) không nhất thiết phải có vết bằng không và do đó phụ thuộc bốn tham số, ba tham số là thành phần của vectơ ba chiều α size 12{α} {}đã xét ở trên và một tham số mới α0 size 12{α rSub { size 8{0} } } {}. Ma trận 2 x 2 tự liên hợp ( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) phụ thuộc bốn tham số được biểu diễn qua bốn ma trận 2 x 2 tự liên hợp độc lập tuyến tính là ba ma trận Pauli σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {}, i = 1, 2, 3 và ma trận đơn vị I ký hiệu là σ0 size 12{σ rSub { size 8{0} } } {},

X( αi size 12{α rSub { size 8{i} } } {}) = 12α0σ0 size 12{ { {1} over {2} } α rSub { size 8{0} } σ rSub { size 8{0} } } {} + 12ασ size 12{ { {1} over {2} } ital "ασ"} {}.

Ngoài ba nhóm con một tham số gồm các biến đổi U(k)( φ size 12{ϕ} {}) đã xét ở trên bây giờ ta có thêm một nhóm con một tham số nữa là nhóm U(1) với các phép biến đổi

U(0) ( φ size 12{ϕ} {}) = e12φ size 12{e rSup { size 8{ - { {1} over {2} } ϕ} } } {} .

Các biến đổi này giao hoán với các biến đổi của nhóm SU(2) và do đó nhóm U(2) là tích trực tiếp của nhóm U(1) và nhóm SU(2).

U(2) = U(1) size 12{⊗} {}SU(2).

Bây giờ ta dẫn ra ở đây một số công thức đối với các ma trận Pauli mà ta thường dùng khi nghiên cứu các vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực của vật lý lượng tử. Trước hết ta chú ý rằng vết của các ma trận Pauli bằng không

Tr ( σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {}) = σiαα size 12{ left (σ rSub { size 8{i} } right ) rSub { size 8{ ital "αα"} } } {} = 0

còn tích của hai ma trận Pauli có vết bằng

Tr ( σiσj size 12{σ rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{j} } } {}) = σiαβ size 12{ left (σ rSub { size 8{i} } right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {}σiβα size 12{ left (σ rSub { size 8{i} } right ) rSub { size 8{ ital "βα"} } } {}= 2 δij size 12{δ rSub { size 8{ ital "ij"} } } {}

Ba ma trận Pauli σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {}và ma trận đơn vị I tạo thành bốn ma trận n x n độc lập tuyến tính. Mọi ma trận 2 x 2 đều có thể triển khai theo bốn ma trận này như sau

Aαβ size 12{A rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {} = A0δαβ size 12{A rSub { size 8{0} } δ rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {} + Aiσiαβ size 12{ left (σ rSub { size 8{i} } right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {} = A0δαβ size 12{A rSub { size 8{0} } δ rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {} + A σαβ size 12{ left (σ right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {}, α,β size 12{α,`β} {} = 1, 2

hay là

A = A 0 I + A i σ i size 12{σ rSub { size 8{i} } } {} = A 0 I + A σ size 12{σ} {}

Lấy vết cả hai vế hệ thức trên, ta có

A0=12Aαα=12Tr(A) size 12{A rSub { size 8{0} } = { {1} over {2} } A rSub { size 8{ ital "αα"} } = { {1} over {2} } `"Tr" \( A \) } {}.

Còn nếu nhân cả hai vế hệ thức đó với σk size 12{σ rSub { size 8{k} } } {} xong rồi mới lấy vết thì ta thu được

A k = 1 2 A αβ σ k βα = 1 2 Tr ( k ) size 12{A rSub { size 8{k} } = { {1} over {2} } A rSub { size 8{ ital "αβ"} } left (σ rSub { size 8{k} } right ) rSub { size 8{ ital "βα"} } = { {1} over {2} } `"Tr" \( Aσ rSub { size 8{k} } \) } {}

hay là

A=12Aαβ(σ)βα=12Tr() size 12{A= { {1} over {2} } A rSub { size 8{ ital "αβ"} } \( σ \) rSub { size 8{ ital "βα"} } = { {1} over {2} } ` ital "Tr" \( Aσ \) } {} .

Các ma trận σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {}σ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {}là đối xứng

( σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {})T = σ1 size 12{σ rSub { size 8{1} } } {}, ( σ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {})T = σ3 size 12{σ rSub { size 8{3} } } {}

nghĩa là

σ1αβ size 12{ left (σ rSub { size 8{1} } right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {} = σ1βα size 12{ left (σ rSub { size 8{1} } right ) rSub { size 8{ ital "βα"} } } {}, σ3αβ size 12{ left (σ rSub { size 8{3} } right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {} = σ3βα size 12{ left (σ rSub { size 8{3} } right ) rSub { size 8{ ital "βα"} } } {},

còn ma trận σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {}là phản đối xứng

( σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {})T = - σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {},

nghĩa là

σ2αβ size 12{ left (σ rSub { size 8{2} } right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {} = - σ2βα size 12{ left (σ rSub { size 8{2} } right ) rSub { size 8{ ital "βα"} } } {}.

Từ các tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng này của cá ma trận Pauli và tính chất phản giao hoán của các ma trận Pauli khác nhau suy ra hệ thức

σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {}σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {}σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {} = σiT size 12{ - σ rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } } {}.

Nhân cả hai vế của hệ thức này với σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {} từ bên phải hoặc từ bên trái và thực hiện các phép tính toán thích hợp tiếp theo, ta sẽ có

σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {}σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {} = σiT size 12{ - σ rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } } {}σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {} = σiT size 12{σ rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } } {}σ2T size 12{σ rSub { size 8{2} } rSup { size 8{T} } } {} = σ2σ1T size 12{ left (σ rSub { size 8{2} } σ rSub { size 8{1} } right ) rSup { size 8{T} } } {},

σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {}σ2 size 12{σ rSub { size 8{2} } } {} = σ2 size 12{ - σ rSub { size 8{2} } } {}σiT size 12{σ rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } } {} = σ2T size 12{σ rSub { size 8{2} } rSup { size 8{T} } } {}σiT size 12{σ rSub { size 8{i} } rSup { size 8{T} } } {} = σiσ2T size 12{ left (σ rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{2} } right ) rSup { size 8{T} } } {}.

Vậy các ma trận σ2σi size 12{σ rSub { size 8{2} } σ rSub { size 8{i} } } {}σiσ2 size 12{σ rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{2} } } {}là các ma trận đối xứng,

(σ2σi size 12{σ rSub { size 8{2} } σ rSub { size 8{i} } } {})T = ( σ2σi size 12{σ rSub { size 8{2} } σ rSub { size 8{i} } } {}), ( σiσ2 size 12{σ rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{2} } } {})T = ( σiσ2 size 12{σ rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{2} } } {}),

nghĩa là

σ2σiαβ size 12{ left (σ rSub { size 8{2} } σ rSub { size 8{i} } right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {}= σ2σiβα size 12{ left (σ rSub { size 8{2} } σ rSub { size 8{i} } right ) rSub { size 8{ ital "βα"} } } {}, σiσ2αβ size 12{ left (σ rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{2} } right ) rSub { size 8{ ital "αβ"} } } {}= σiσ2βα size 12{ left (σ rSub { size 8{i} } σ rSub { size 8{2} } right ) rSub { size 8{ ital "βα"} } } {},

So sánh các kết quả vừa thu được đối với nhóm SU(2) và các kết quả trình bày ở trên về nhóm quay SO(3), ta thấy có một sự tương tự: cả hai nhóm đều là các nhóm Lie bat ham số, các vi tử của chúng thỏa mãn những hệ thức giao hoán giống hệt nhau. Ta hãy chứng minh rằng nhóm SO(3) đồng cấu với nhóm SU(2).

Xét một vectơ r trong không gian ba chiều. Từ ba thành phần r1 = x, r2 = y, r3 = z của vectơ này ta hãy lập ra ma trận R sau đây

Dùng các tính chất của các ma trận Pauli σi size 12{σ rSub { size 8{i} } } {} mà ta đã trình bày ở trên, dễ thấy rằng các thành phần của vectơ r được biểu diễn ngược lại qua ma trận R như sau

r i = 1 2 Tr ( i ) size 12{r rSub { size 8{i} } = { {1} over {2} } `"Tr" \( Rσ rSub { size 8{i} } \) } {}

hay là

r = 1 2 Tr ( ) size 12{r= { {1} over {2} } `"Tr" \( Rσ \) } {}

Tính định thức của ma trận R, ta thu được

det R = - r 2 .

Cho U là một yếu tố của nhóm SU(2) và xét phép biến đổi tuyến tính sau đây của ma trận R

R size 12{ rightarrow } {}R ’ = U RU +.

Ký hiệu vectơ trong không gian ba chiều tương ứng với ma trận R’ là r’:

R ’ = r’ σ size 12{σ} {}.

Trong phép biến đổi R thành R’, vectơ r chuyển thành r’

R size 12{ rightarrow } {} R’ size 12{ drarrow } {} r size 12{ rightarrow } {} r’.

Ta ký hiệu phép biến đổi này của không gian ba chiều là O,

r ’ = O r,

và thiết lập được sự tương ứng giữa mỗi yếu tố U của nhóm SU(2) với một phép biến đổi O của không gian ba chiều

U size 12{ rightarrow } {}O.

Trước hết, ta hãy chứng minh rằng phép biến đổi O bảo toàn chiều dài của các vectơ trong không gian ba chiều. Thực vậy, ta có

r ’2 = - det R ’ = - det(U RU +) = - (detU) (det R) (det U +) = - det R = r 2

Vậy O là phép quay hoặc là tổ hợp của phép quay và phép nghịch đảo hoặc / và phép phản xạ gương. Dùng các biểu thức đã cho ở trên của các yếu tố U (k)(φ size 12{ϕ} {}), k = 1, 2, 3, của các nhóm con một tham số trong nhóm SU(2) rồi thực hiện phép nhân ma trận để tìm các ma trận

U (k)( φ size 12{ϕ} {} ) RU (k) ( φ size 12{ϕ} {} ) +

ta thu được ngay ma trận của các phép biến đổi biến đổi O tương ứng của không gian ba chiều. Kết quả là ta có sự tương ứng sau đây giữa các yếu tố U (k)( φ size 12{ϕ} {}), k = 1, 2, 3 và các phép quay Cx (φ size 12{ϕ} {}), Cy (φ size 12{ϕ} {}), Cz (φ size 12{ϕ} {}),:

U(1) (φ size 12{ϕ} {}) size 12{ rightarrow } {}Cx (φ size 12{ϕ} {}),

U(2) (φ size 12{ϕ} {}) size 12{ rightarrow } {}Cy (φ size 12{ϕ} {}),

U(3) (φ size 12{ϕ} {}) size 12{ rightarrow } {} Cz (φ size 12{ϕ} {}).

Dễ thử lại rằng sự tương ứng nói trên giữa các yếu tố của hai nhóm bảo toàn phép nhân nhóm. Vậy ta đã thiết lập được sự đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3). Chú ý rằng nếu tat hay U bằng –U thì ta vẫn được cùng một phép quay O. Vậy trong phép đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) hai yếu tố trái dấu nhau của nhóm SU(2) tương ứng với cùng một yếu tố của nhóm SO(3). Nhóm SO(3) đồng cấu nhưng không đẳng cấu với nhóm SU(2).

Đánh giá:
1.0 dựa trên 1 đánh giá
Nội dung cùng tác giả
 
Nội dung tương tự