Tài liệu

Các định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ

Mathematics and Statistics

Chúng ta đã đi qua một bước chuẩn bị tương đối dài để đi đến các Định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ. Các định lý này sẽ giải quyết vấn đề trọng tậm của lý thuyết xấp xỉ. Vấn đề này được đặt ra như sau:

(i) Xác định tốc độ xấp xỉ khi biết độ trơn của hàm số f size 12{f} {}.

(ii) Xác định độ trơn theo tốc độ hội tụ của En(f)p:=infϕTnPfϕPp size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } ":=" {"inf"} cSub { size 8{ϕ in T rSub {n} } } Pf - ϕP rSub { size 8{p} } } {}.

Khi p= size 12{p= infinity } {}, ta có hai định lý sau

Định lý 0.1 (Jackson (1912)) Nếu f C r ( T ) size 12{f in C rSup { size 8{r} } \( T \) } {} , thì

E n ( f ) C r n r ω ( f ( r ) , n 1 ) , n =1,2 . . . size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{ infinity } } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } ω \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) ,~n"=1,2" "." "." "." } {}

Định lý 0.2 (Bernstein) Nếu tồn tại 0< α <1 size 12{"0<"α"<1"} {} sao cho

E n ( f ) C r n r α , n =1,2, . . . , size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{ infinity } } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r - α} } ,``n"=1,2," "." "." "." ,} {}

thì

f ( r ) Lip α size 12{f rSup { size 8{ \( r \) } } in ital "Lip"α} {}

Các Định lý này sẽ được chứng minh trong các mục sau. Từ hai khẳng định trên ta suy ra

f Lip α khi và chỉ khi E n ( f ) Cn α ,0< α <1 . size 12{f in ital "Lip"α` khi và chỉ khi `E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{ infinity } } ital "Cn" rSup { size 8{ - α} } ",0<"α"<1" "." } {}

Các định lý thuận

Pf L n ( f ) P p 2 ( f , n 1 ) p . size 12{Pf - L rSub { size 8{n} } \( f \) P rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Do đó

En(f)p2(f,n1)p. size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.2)

Bây giờ ta xét nhân Jackson Kn(t) size 12{K rSub { size 8{n} } \( t \) } {} cho bởi

Rõ ràng các nhân Jackson tổng quát là các đa thức lượng giác bậc n size 12{n} {}, không âm, chẵn. Ta ký hiệu An©Bn,n, size 12{A rSub { size 8{n} } ©B rSub { size 8{n} } ,n rightarrow infinity ,} {} nếu tồn tại các hằng số C size 12{C} {}, C' size 12{ { {C}} sup { ' }} {}n0 size 12{n rSub { size 8{0} } } {} sao cho

CB n A n C ' B n , n n 0 . size 12{ ital "CB" rSub { size 8{n} } A rSub { size 8{n} } { {C}} sup { ' }B rSub { size 8{n} } ,~n >= n rSub { size 8{0} } "." } {}

Bổ đề 1.1 Với r =1,2, . . . size 12{r"=1,2," "." "." "." } {} , ta có

(i) λn,r©n2r+1,n. size 12{λ rSub { size 8{n,r} } ©n rSup { size 8{ - 2r+1} } ,n rightarrow infinity "." } {}

Định lý 1.2 (Jackson)

Tồn tại hằng số C size 12{C} {} sao cho

PfJn(f)Pp2(f,n1)p(f,n1)p. size 12{Pf - J rSub { size 8{n} } \( f \) P rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } Cω \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.6)

PfJn(f)Pp2(f,n1)p(f,n1)p. size 12{Pf - J rSub { size 8{n} } \( f \) P rSub { size 8{p} } Cω rSub { size 8{2} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } Cω \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.6)

Ta sẽ chứng minh Sn(f) size 12{S rSub { size 8{n} } \( f \) } {} là đa thức lượng giác bậc n size 12{n} {}. Để làm điều này ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.3 Cho hàm g L 1 ( R ) size 12{g in L rSub { size 8{1} } \( R \) } {} là hàm tuần hoàn chu kỳ / k size 12{2π/k} {} , k size 12{k} {} là số nguyên dương. Khi đó nếu l Z size 12{l in Z} {} không chia hết cho k size 12{k} {} , thì

Vì răng l size 12{l} {} không chia hết cho k size 12{k} {} nên eilt/k=1 size 12{e rSup { size 8{ ital "ilt"/k} } { { {}=}}1} {}, do đó ta có kết quả trên.

Từ định nghĩa của sai phân ta đã suy ra

Nhưng Kn,r(t) size 12{K rSub { size 8{n,r} } \( t \) } {} là đa thức lượng giác chẵn, nên Sn(f,x) size 12{S rSub { size 8{n} } \( f,x \) } {} là tổ hợp tuyến tính của các tích phân dạng

f(x+kt) size 12{f \( x+ ital "kt" \) } {} là hàm tuần hoàn chu kỳ /k size 12{2π/k} {}, nên theo Bổ đề trên (1.8) chỉ khác 0 size 12{0} {} khi l size 12{l} {} chia hết cho k. Khi đó chỉ cần đổi biến u=x+kt size 12{u=x+ ital "kt"} {} và áp dụng công thức cộng cung của hàm số cos size 12{"cos"} {}, ta sẽ nhận được Sn(f) size 12{S rSub { size 8{n} } \( f \) } {} là một đa thức lượng giác bậc n. size 12{n "." } {}

Định lý 1.4 (Steckhin [1951])

Với r=1,2... size 12{r"=1,2" "." "." "." } {}, tồn tại hằng số Cr size 12{C rSub { size 8{r} } } {} sao cho

En(f)pCrωr(f,n1)p,n=1,2,...,1p. size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } ω rSub { size 8{r} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } ,~n"=1,2," "." "." "." ",1"p infinity "." } {} (4.9)

Proof. Ta có ωr(f,t)p(nt+1)rωr(f,n1)p size 12{ω rSub { size 8{r} } \( f,t \) rSub { size 8{p} } \( ital "nt"+1 \) rSup { size 8{r} } ω rSub { size 8{r} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } } {} (tính chất của modul trơn). Sử dụng bất đẳng thức Minkowski,

bất đẳng thức cuối cùng có được do Bổ đề 4.1.1

Hệ quả 1.5 Nếu f W p r size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } } {} , thì

E n ( f ) p C r n r ω r ( f ( r ) , n 1 ) p . size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } ω rSub { size 8{r} } \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Hệ quả 1.6 Nếu f H p α size 12{f in H rSub { size 8{p} } rSup { size 8{α} } } {} , α >0 size 12{α">0"} {} , thì E n ( f ) p = O ( n α ) size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } =O \( n rSup { size 8{ - α} } \) } {}

Giả sử fL1(T) size 12{f in L rSub { size 8{1} } \( T \) } {}. Ta nói f size 12{f} {} có giá trị trung bình bằng không nếu

thì suy ra

Ta có

2Pf(x)S­n­°(x)Pp=Pc(0)+f(x)Sn(x)Pp2PfSnPp,1p size 12{2Pf \( x \) - S rSub { size 8{­n} } rSup { size 8{­ circ } } \( x \) P rSub { size 8{p} } =Pc \( 0 \) +f \( x \) - S rSub { size 8{n} } \( x \) P rSub { size 8{p} } 2Pf - S rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ,~1p infinity } {} (4.11)

Từ (1.11) ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.7

E n ( f ) p C 1 n E n ( f ' ) p , víi1 p ,f W ­p ­r . size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } C { {1} over {n} } E rSub { size 8{n} } \( { {f}} sup { ' } \) rSub { size 8{p} } ,~"víi1"p infinity ",f" in W rSub { size 8{"­p"} } rSup { size 8{"­r"} } "." } {}

Proof. Gọi S­:­n size 12{ {S} cSup { size 8{­:} } rSub { size 8{­n} } } {} là xấp xỉ tốt nhất của f' size 12{ { {f}} sup { ' }} {}, và Sn size 12{S rSub { size 8{n} } } {} là tích phân tuần hoàn của Sn­°: size 12{ {S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{­ circ } } } cSup { size 8{:} } } {}. Do f' size 12{ { {f}} sup { ' }} {} có giá trị trung bình không nên kết hợp (1.11) với Định lý Jackson ta có

2 E n ( f ) p = E n ( f S n ) p ω 1 ( f S n , n ­ 1 ) p C ­1 ­ n P f ' S n ­ ° : P p size 12{2E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } =E rSub { size 8{n} } \( f - S rSub { size 8{n} } \) rSub { size 8{p} } ω rSub { size 8{1} } \( f - S rSub { size 8{n} } ,n rSup { size 8{­ - 1} } \) rSub { size 8{p} } C { {"­1"} over {­n} } P { {f}} sup { ' } - {S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{­ circ } } } cSup { size 8{:} } P rSub { size 8{p} } } {}

2C 1 n P f ' S ­ : ­ n P p =2 C 1 n E n ( f ' ) p . size 12{2C { {1} over {n} } P { {f}} sup { ' } - {S} cSup { size 8{­:} } rSub { size 8{­n} } P rSub { size 8{p} } "=2"C { {1} over {n} } E rSub { size 8{n} } \( { {f}} sup { ' } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Bằng cách lặp lại quá trình chứng minh trong bổ đề r size 12{r} {} lần ta thu được kết quả sau:

Hệ quả 1.8

En(f)pCrnrEn(f(r))p,fWpr. size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } E rSub { size 8{n} } \( f rSup { size 8{ \( r \) } } \) rSub { size 8{p} } ,~f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } "." } {} (4.12)

Ta kết thúc mục này bằng nhận xét sau:

Nhận xét 1.9 Các cận trên của sai số xấp xỉ E n ( f ) p size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } } {} thường viết ở một trong các dạng sau:

Từ các tính chất của modul trơn ta có (D)(C)(B)(A) size 12{ \( D \) drarrow \( C \) drarrow \( B \) drarrow \( A \) } {} (chứng minh xem như một bài tập).

Xấp xỉ đồng thời

Dưới đây chúng ta sẽ xấp xỉ đồng thời f size 12{f} {} và các đạo hàm f(k) size 12{f rSup { size 8{ \( k \) } } } {}, k=1,2,...,r size 12{k"=1,2," "." "." "." ,r} {}, bởi Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} và các đạo hàm Tn(k),k=1,...,r size 12{T rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k \) } } ,k"=1," "." "." "." ,r} {}.

Bổ đề 2.1 Cho g L p ( T ) size 12{g in L rSub { size 8{p} } \( T \) } {} , 1 p < size 12{1p< infinity } {} , hoặc g C ( T ) , p = , size 12{g in C \( T \) ,p= infinity ,} {} và đa thức lượng giác T n size 12{T rSub { size 8{n} } } {} thoả mãn

Pg T n P p ( f , n 1 ) p . size 12{Pg - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } Kω \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Khi đó ta có

P T n ' P P K 1 ( g , n 1 ) , K 1 :=2 ( K + 1 ) . size 12{P { {T}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{P} } K rSub { size 8{1} } nω \( g,n rSup { size 8{ - 1} } \) ,~K rSub { size 8{1} } ":=2" \( K+1 \) "." } {}

Proof. Đặt h:=n1 size 12{h":="n rSup { size 8{ - 1} } } {}, ta có

PT n ( + h ) T n ( h ) P p 2Pg T n P p + ω ( f ,2 h ) p 2 ( K + 1 ) ω ( g , h ) p . size 12{PT rSub { size 8{n} } \( cdot +h \) - T rSub { size 8{n} } \( cdot - h \) P rSub { size 8{p} } 2Pg - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } +ω \( f",2"h \) rSub { size 8{p} } 2 \( K+1 \) ω \( g,h \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Mặt khác sử dụng khai triển thành chuỗi Taylor của Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} và sử dụng bất đẳng thức Bernstien ta có

Từ đây ta suy ra khẳng định trên.

Từ bổ đề trên ta đi đến định lý về xấp xỉ đồng thời

Định lý 2.2 (Czipszer và Freud [1958]) Cho f W p r ,1 p size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } ",1"p infinity } {} , và T n size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức xấp xỉ tốt nhất của f size 12{f} {} . Khi đó

Pf ( k ) T n ( k ) P p C r E n ( f ( k ) ) p , k =0,1, . . . , n =0,1, . . . , size 12{Pf rSup { size 8{ \( k \) } } - T rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k \) } } P rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } E rSub { size 8{n} } \( f rSup { size 8{ \( k \) } } \) rSub { size 8{p} } ,~k"=0,1," "." "." "." ,n"=0,1," "." "." "." ,} {}

Proof. Định lý được chứng minh bằng quy nạy theo r size 12{r} {}.

Nếu r=0 size 12{r"=0"} {}, thì hiển nhiên k=0 size 12{k"=0"} {}. Do Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất f size 12{f} {}, nên định lý đúng với r=0 size 12{r"=0"} {}.

Giả sử định lý đúng với r=0 size 12{r { { {}=}}0} {}, ta chứng minh định lý đúng với r+1 size 12{r+1} {}. Giả sử fWpr+1 size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r+1} } } {}, ký hiệu Sn: size 12{ {S rSub { size 8{n} } } cSup { size 8{:} } } {} là đa thức xấp xỉ tốt nhất f' size 12{ { {f}} sup { ' }} {}, và Sn size 12{S rSub { size 8{n} } } {} là tích phân tuần hoàn của Sn:a(0) size 12{ {S rSub { size 8{n} } } cSup { size 8{:} } - a \( 0 \) } {},( a(0) size 12{a \( 0 \) } {} là hạng tử tự do của Sn: size 12{ {S rSub { size 8{n} } } cSup { size 8{:} } } {}). Sử dụng (1.11) và giả thiết quy nạp ta có

Pf ( k + 1 ) S n ( k + 1 ) P p C r E n ( f ( k + 1 ) ) p . size 12{Pf rSup { size 8{ \( k+1 \) } } - S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k+1 \) } } P rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } E rSub { size 8{n} } \( f rSup { size 8{ \( k+1 \) } } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Gọi Rn size 12{R rSub { size 8{n} } } {} là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất fSn size 12{f - S rSub { size 8{n} } } {}. Khi đó ta có Tn=Rn+Sn size 12{T rSub { size 8{n} } =R rSub { size 8{n} } +S rSub { size 8{n} } } {}, và

P R n ' P p Cn ω ( f S n , n 1 ) p CP f ' S n ' P p CE n ( f ' ) p , size 12{P { {R}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ital "Cn"ω \( f - S rSub { size 8{n} } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } CP { {f}} sup { ' } - { {S}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ital "CE" rSub { size 8{n} } \( { {f}} sup { ' } \) rSub { size 8{p} } ,} {}

trong đó bất đẳng thức thứ nhất là do Bổ đề 4.2.1, bất đẳng thức thứ hai là do bất đẳng thức Minkowski ( cụ thể hơn là tính chất của modul trơn), bất đẳng thức cuối cùng là do giả thiết quy nạp với k=0 size 12{k"=0"} {}.

Sử dụng bất đẳng thức Bernstein và Hệ quả 4.1.8 ta có

PR n ( k + 1 ) P p Cn k P R n ' P p Cn k E n ( f ' ) p CE n ( f ( k + 1 ) ) p . size 12{PR rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k+1 \) } } P rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{k} } P { {R}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{k} } E rSub { size 8{n} } \( { {f}} sup { ' } \) rSub { size 8{p} } ital "CE" rSub { size 8{n} } \( f rSup { size 8{ \( k+1 \) } } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Ta có PfTnPp=En(f)p size 12{Pf - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } =E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } } {} và hơn nữa với k=0,1,..r size 12{k"=0,1," "." "." r} {},

Pf ( k + 1 ) T n ( k + 1 ) P p Pf ( k + 1 ) S n ( k + 1 ) P p + PR n ( k + 1 ) P p CE n ( f ( k + 1 ) ) p . size 12{Pf rSup { size 8{ \( k+1 \) } } - T rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k+1 \) } } P rSub { size 8{p} } Pf rSup { size 8{ \( k+1 \) } } - S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k+1 \) } } P rSub { size 8{p} } +PR rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k+1 \) } } P rSub { size 8{p} } ital "CE" rSub { size 8{n} } \( f rSup { size 8{ \( k+1 \) } } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Vậy định lý được chứng minh.

Nhựơc điểm của bất đẳng thức trên là đa thức xấp xỉ tốt nhất hiếm khi biết. Tuy nhiên, chúng ta cũng có cách khắc phục như sau:

Định lý 2.3 Cho f W p r size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } } {} S n T n size 12{S rSub { size 8{n} } in T rSub { size 8{n} } } {} thoả mãn

Pf S n P p C r n r ω ( f ( r ) , n 1 ) p , n =1,2, . . . . size 12{Pf - S rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } ω \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } ,~n"=1,2," "." "." "." "." } {}

Khi đó ta có, với n=1,2,.., size 12{n"=1,2," "." "." ,} {}

Pf ( k ) S n ( k ) P C r n k r ω ( f ( r ) , n 1 ) p , k =1, . . . , r , size 12{Pf rSup { size 8{ \( k \) } } - S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k \) } } PC rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{k - r} } ω \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } ,~k"=1," "." "." "." ,r,} {}

PS n ( r + 1 ) P p C r ( f ( r ) , n 1 ) p . size 12{PS rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( r+1 \) } } P rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } nω \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Proof. Gọi Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức xấp xỉ tốt nhất f size 12{f} {}. Ta có

2PS n T n P p PS n fP p + PT n fP p C r ' n r ω ( f ( r ) , n 1 ) p . size 12{2PS rSub { size 8{n} } - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } PS rSub { size 8{n} } - fP rSub { size 8{p} } +PT rSub { size 8{n} } - fP rSub { size 8{p} } { {C}} sup { ' } rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } ω \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Sử dụng bất đẳng thức Bernstein và Định lý 4.2.2 ta có

2Pf ( k ) S n ( k ) P p Pf ( k ) T n ( k ) P p + PS n ( k ) T n ( k ) P p size 12{2Pf rSup { size 8{ \( k \) } } - S rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k \) } } P rSub { size 8{p} } Pf rSup { size 8{ \( k \) } } - T rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k \) } } P rSub { size 8{p} } +PS rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k \) } } - T rSub { size 8{n} } rSup { size 8{ \( k \) } } P rSub { size 8{p} } } {}

C r n k PT n S n P p + C r E n ( f ( k ) ) p size 12{C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{k} } PT rSub { size 8{n} } - S rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } +C rSub { size 8{r} } E rSub { size 8{n} } \( f rSup { size 8{ \( k \) } } \) rSub { size 8{p} } } {}

C r n k r ω ( f ( r ) , n 1 ) p . size 12{C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{k - r} } ω \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Bất đẳng thức thứ hai của định lý được suy ra rừ Bổ đề 4.2.1 và bất đẳng thức thứ nhất với k=r size 12{k=r} {}. Vậy định lý được hoàn toàn chứng minh.

Các định lý ngược

Trong mục các Định lý thuận ta đã ước lượng các sai số xấp xỉ En(f)p size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } } {} thông qua modul trơn. Trong phần này chúng ta sẽ ước lượng ngược lại, tức là ước lượng các modul trơn thông qua sai số xấp xỉ.

Định lý 3.1 Cho f ­ L p ( ­T ) size 12{f in ­L rSub { size 8{p} } \( "­T" \) } {} , 1 p size 12{1p infinity } {} , r =1, . . . size 12{r"=1," "." "." "." } {} . Khi đó tồn tại hằng số C r size 12{C rSub { size 8{r} } } {} sao cho

Proof. Giả sử Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức xấp xỉ tốt nhất f. Khi đó với m=0,1.... size 12{m"=0,1" "." "." "." "." } {}, và h:=n­1 size 12{h":="n rSup { size 8{­ - 1} } } {}, ta có

ωr(f,h)pωr(fT­2­m+1,h)p+ωr(T­2­m+1,h)p. size 12{ω rSub { size 8{r} } \( f,h \) rSub { size 8{p} } ω rSub { size 8{r} } \( f - T rSub { size 8{"­2" rSup {­m+1} } } ,h \) rSub { size 8{p} } +ω rSub { size 8{r} } \( T rSub { size 8{"­2" rSup {­m+1} } } ,h \) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.14)

Ta có

ω r ( f T ­2 ­ m + 1 , h ) p 2 r E ­2 ­ m + 1 ( f ) size 12{ω rSub { size 8{r} } \( f - T rSub { size 8{"­2" rSup {­m+1} } } ,h \) rSub { size 8{p} } 2 rSup { size 8{r} } E rSub { size 8{"­2" rSup {­m+1} } } \( f \) } {}

Với mỗi n size 12{n} {}, ta chọn m size 12{m} {} sao cho 2mn<2­m+1. size 12{2 rSup { size 8{m} } n"<2" rSup { size 8{­m+1} } "." } {} Khi đó, từ bất đẳng thức (3.14) và (3.15), ta suy ra (3.13) với vế phải cộng thêm E0(f)p. size 12{E rSub { size 8{0} } \( f \) rSub { size 8{p} } "." } {} Lặp lại quá trình trên với g:=fc size 12{g":="f - c} {}, với c size 12{c} {} là hằng xấp xỉ tốt nhất f size 12{f} {}, ta suy ra (3.13) đúng với f size 12{f} {}.

Vậy định lý được chứng minh.

Đặc biệt khi r=1 size 12{r"=1"} {}, ta có

Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để một hàm thuộc Wpr size 12{W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } } {}:

Định lý 3.2 Nếu hàm f L p ( T ) size 12{f in L rSub { size 8{p} } \( T \) } {} , 1 p , r =1,2, . . . size 12{1p infinity ,r"=1,2," "." "." "." } {} , thoả mãn điều kiện

thì fWpr. size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } "." } {}

Proof. Gọi Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức xấp xỉ tốt nhất f size 12{f} {}, ta có PT2ν+1T2νPp2E2ν(f)p. size 12{PT rSub { size 8{2 rSup {ν+1} } } - T rSub { size 8{2 rSup {ν} } } P rSub { size 8{p} } 2E rSub { size 8{2 rSup {ν} } } \( f \) rSub { size 8{p} } "." } {} Từ bất đẳng thức Bernstein ta có

Vì vậy {T2ν} size 12{ lbrace T rSub { size 8{2 rSup {ν} } } rbrace } {} là dãy Cauchy trong Wpr size 12{W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } } {}. Do Wpr size 12{W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } } {} là không gian Bannach và T2νf size 12{T rSub { size 8{2 rSup {ν} } } rightarrow f} {} trong Lp size 12{L rSub { size 8{p} } } {}, nên fWpr. size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } "." } {}

Từ Định lý 4.3.1 ta suy ra:

Hệ quả 3.3 Nếu

En(f)p=O(nα),α>0,n=1,2,...., size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } =O \( n rSup { size 8{ - α} } \) ,~α">0,"n"=1,2," "." "." "." "." ,} {} (4.17)

thì

Đặt r=[α]+1­, size 12{r= \[ α \] +"1­,"} {} thoả mãn r>α size 12{r>α} {}, vì vậy từ (3.17) suy ra fHpα. size 12{f in H rSub { size 8{p} } rSup { size 8{α} } "." } {} Kết hợp với Hệ quả 4.1.6 ta có

Định lý 3.4 Với α >0 size 12{α">0"} {} , 1 p size 12{1p infinity } {} , hệ thức E n ( f ) p = O ( n α ) size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } =O \( n rSup { size 8{ - α} } \) } {} tương đương với f H p α . size 12{f in H rSub { size 8{p} } rSup { size 8{α} } "." } {}

Ví dụ 3 E n ( f ) p = O ( n 1 ) size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } =O \( n rSup { size 8{ - 1} } \) } {} tương đương với f Z 1, p := H p 1 size 12{f in Z rSub { size 8{"1,"p} } ":="H rSub { size 8{p} } rSup { size 8{1} } } {} . Tuy nhiên không suy ra f Lip ( 1, L p ) size 12{f in ital "Lip" \( "1,"L rSub { size 8{p} } \) } {} , với 1< p . size 12{"1<"p infinity "." } {}

Xấp xỉ bằng đa thức đại số

Cho A=[a,b], size 12{A= \[ a,b \] ,} {}fLp(A) size 12{f in L rSub { size 8{p} } \( A \) } {}. Sai số xấp xỉ tốt nhất f size 12{f} {} bởi Pn size 12{P rSub { size 8{n} } } {} được cho bởi

E n ( f ) p := inf P n P n Pf P n P p . size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } ":=" {"inf"} cSub { size 8{P rSub {n} in P rSub {n} } } Pf - P rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } "." } {}

Không mất tổng quát ta xét A=[1,1] size 12{A= \[ - "1,1" \] } {}, nếu không thì ta dùng một phép thế tuyến tính đưa A size 12{A} {} về [1,1] size 12{ \[ - "1,1" \] } {}. Chúng ta sẽ ước lượng En(f)p size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } } {} thông qua modul trơn, (định lý thuận). Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Vì tại gần các điểm cuối ±1 size 12{ +- 1} {} có các quy tắc đặc biệt trong xấp xỉ. Ví dụ một hàm fC([1,1]) size 12{f in C \( \[ - "1,1" \] \) } {} có thể được xấp xỉ tốt hơn khi x size 12{x} {} gần ±1. size 12{ +- 1 "." } {}

Định lý 4.1 Cho f W p r ( A ) size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } \( A \) } {} , n > r size 12{n>r} {} , r =0,1, . . . . size 12{r"=0,1," "." "." "." "." } {} , 1 p . size 12{1p infinity "." } {} Khi đó sai số xấp xỉ thoả mãn

E n ( f ) p Cn r ω ( f ( r ) , n 1 ) p . size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{ - r} } ω \( f rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Proof. Định lý được chứng minh bởi các bước sau:

Bước 1. Ta chứng minh với fWp1(A) size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{1} } \( A \) } {},

En(f)pCnPf'Pp. size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } { {C} over {n} } P { {f}} sup { ' }P rSub { size 8{p} } "." } {} (4.18)

Đặt x:=cost size 12{x":=""cos"t} {}g(t):=f(cost) size 12{g \( t \) ":="f \( "cos"t \) } {}. Khi đó g size 12{g} {} là hàm chẵn, và gWp1 size 12{g in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{1} } } {}

Gọi Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất g size 12{g} {}. Theo hệ quả của Định lý thuận, ta có

PT n gP p C n P g ' P p . size 12{PT rSub { size 8{n} } - gP rSub { size 8{p} } { {C} over {n} } P { {g}} sup { ' }P rSub { size 8{p} } "." } {}

g size 12{g} {} là hàm chẵn nên Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} cũng là hàm chẵn, do đó tồn tại PnPn size 12{P rSub { size 8{n} } in P rSub { size 8{n} } } {} sao cho Pn(cost)=Tn(t). size 12{P rSub { size 8{n} } \( "cos"t \) =T rSub { size 8{n} } \( t \) "." } {} Ta có

2Pf P n P p 2 1/ p Pg T n P p Cn 1 P g ' P p Cn 1 P f ' P p size 12{2Pf - P rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } 2 rSup { size 8{ - "1/"p} } Pg - T rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{ - 1} } P { {g}} sup { ' }P rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{ - 1} } P { {f}} sup { ' }P rSub { size 8{p} } } {}

size 12{ drarrow } {}(4.18).

Bước 2 Ta chứng minh

En(f)p(f,n1)p,fLp. size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } Cω \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } ,~f in L rSub { size 8{p} } "." } {} (4.19)

Với hWp1 size 12{h in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{1} } } {}, ta có

2 E n ( f ) p Pf hP p + E n ( h ) p size 12{2E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } Pf - hP rSub { size 8{p} } +E rSub { size 8{n} } \( h \) rSub { size 8{p} } } {}

C { Pf hP p + n 1 P h ' P p } , size 12{C lbrace Pf - hP rSub { size 8{p} } +n rSup { size 8{ - 1} } P { {h}} sup { ' }P rSub { size 8{p} } rbrace ,} {}

do đó En(f)pCK1(f,n1)(f,n1) size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } ital "CK" rSub { size 8{1} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) Cω \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) } {}.

Bước 3 Ta chứng minh, với n1 size 12{n >= 1} {}, fWp1 size 12{f in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{1} } } {} :

En(f)pCn1En1(f')p. size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{ - 1} } E rSub { size 8{n - 1} } \( { {f}} sup { ' } \) rSub { size 8{p} } "." } {} (4.20)

Giả sử Pn'Pn size 12{ { {P}} sup { ' } rSub { size 8{n} } in P rSub { size 8{n} } } {} là một đa thức xấp xỉ tốt nhất f' size 12{ { {f}} sup { ' }} {}. Gọi Pn size 12{P rSub { size 8{n} } } {} là một tích phân của Pn' size 12{ { {P}} sup { ' } rSub { size 8{n} } } {}. Ta có

E n ( f ) p = E n ( f P n ) Cn 1 P f ' P n ' P p = Cn 1 E n 1 ( f ' ) p . size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } =E rSub { size 8{n} } \( f - P rSub { size 8{n} } \) ital "Cn" rSup { size 8{ - 1} } P { {f}} sup { ' } - { {P}} sup { ' } rSub { size 8{n} } P rSub { size 8{p} } = ital "Cn" rSup { size 8{ - 1} } E rSub { size 8{n - 1} } \( { {f}} sup { ' } \) rSub { size 8{p} } "." } {}

Từ (4.19) và (4.20) ta suy ra định lý bằng cách lặp lại r size 12{r} {} lần các bước trên.

Định lý 4.2 Cho 1 p , r =1, . . . size 12{1p infinity ,r"=1," "." "." "." } {} . Khi đó tồn tại hằng số C r >0 size 12{C rSub { size 8{r} } ">0"} {} sao cho: với f L p ( [ 1,1 ] ) size 12{f in L rSub { size 8{p} } \( \[ - "1,1" \] \) } {} ,

E n ( f ) p C r ω r ( f , n 1 ) p , n r . size 12{E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } ω rSub { size 8{r} } \( f,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } ,~n >= r "." } {}

Proof. Giả sử gWpr size 12{g in W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } } {}. Ta có

E n ( g ) p C r n r ω ( g ( r ) , n 1 ) p C r n r Pg ( r ) P p . size 12{E rSub { size 8{n} } \( g \) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } ω \( g rSup { size 8{ \( r \) } } ,n rSup { size 8{ - 1} } \) rSub { size 8{p} } C rSub { size 8{r} } n rSup { size 8{ - r} } Pg rSup { size 8{ \( r \) } } P rSub { size 8{p} } "." } {}

Vì vậy với fLp size 12{f in L rSub { size 8{p} } } {}, ta có

2 E n ( f ) p C ( Pf gP p + E n ( g ) p ) size 12{2E rSub { size 8{n} } \( f \) rSub { size 8{p} } C \( Pf - gP rSub { size 8{p} } +E rSub { size 8{n} } \( g \) rSub { size 8{p} } \) } {}

C r ( Pf gP p + n r Pg ( r ) P p ) size 12{C rSub { size 8{r} } \( Pf - gP rSub { size 8{p} } +n rSup { size 8{ - r} } Pg rSup { size 8{ \( r \) } } P rSub { size 8{p} } \) } {}

C r K ( f , n r ; L p , W p r ) C r ω r ( f ,1/ n ) p size 12{C rSub { size 8{r} } K \( f,n rSup { size 8{ - r} } ;L rSub { size 8{p} } ,W rSub { size 8{p} } rSup { size 8{r} } \) C rSub { size 8{r} } ω rSub { size 8{r} } \( f",1/"n \) rSub { size 8{p} } } {}

Nhận xét 4.3

(i) Không có bất đẳng thức đảo đối với Định lý 4.4.2.

(ii) Tuy nhiên khi I=[a,a],0<a<1. size 12{I= \[ - a,a \] ,~"0<"a"<1" "." } {} Ta có

Nhưng bất đẳng thức này không đúng cho I=[1,1] size 12{I= \[ - "1,1" \] } {}!

Bài tập

Bài tập 1 Chứng minh nhân Jackson tổng quát K n , r size 12{K rSub { size 8{n,r} } } {} (xem mục 4.1) là đa thức lượng giác không âm, chẵn, có bậc n . size 12{n "." } {}

Bài tập 2 Cho 0< α <1 size 12{"0<"α"<1"} {} . Chứng minh rằng

f Lip ( α , L p ) Pf σ n ( f ) P p Cn α . size 12{f in ital "Lip" \( α,L rSub { size 8{p} } \) dlrarrow Pf - σ rSub { size 8{n} } \( f \) P rSub { size 8{p} } ital "Cn" rSup { size 8{ - α} } "." } {}

Bài tập 3 Chứng minh rằng ( D ) ( C ) ( B ) ( A ) . size 12{ \( D \) drarrow \( C \) drarrow \( B \) drarrow \( A \) "." } {} (Nhận xét 4.1.9)

Đánh giá:
0 dựa trên 0 đánh giá
Nội dung cùng tác giả
 
Nội dung tương tự