Tài liệu

Các không gian Hàm

Mathematics and Statistics

Chương này là một bước chuẩn bị để dẫn tới các định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ. Chúng ta sẽ nghiên cứu một số không gian hàm có liên quan đến độ trơn của hàm số, như là: không gian Sobolev, không gian Lipschitz, không gian H

lder.

Một số khái niệm cơ bản, không gian LP(A), -C(A)

Nếu không nói gì khác, ta vẫn xét miền xác định của hàm số là R,R+,T hoặc [a,b].

Không gian –C(A)

Không gian -C(A) gồm tất cả các hàm thực (hoặc phức), xác định và liên tục trên I -(A) là không gian định chuẩn, với chuẩn

Ký hiệu -C(A) là không gian con của -C(A), gồm tất cả các hàm

liên tục đều trên A. Rõ ràng, nếu A = -T hoặc A= [-a,b], thì -C(A) = -C(A) Nếu A compact thì

Không gian C-r(A) gồm tất cả các hàm khả vi liên tục cấp

trên A. Các hàm
và P -Pxác định bởi

lần lượt là một nửa chuẩn và chuẩn trên C-r(A). Ký hiệu C size 12{ infinity } {}(A) là không gian tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên
.

Không gian Lp(A)

Không gian Lp(A) gồm tất cả các hàm f khả tích cấp

trên
, tức là đại lượng sau là hữu hạn

Khi

, Lp(A) là không gian Banach. Với
,
là không gian phản xạ. Nếu
, thì không gian đối ngẫu của Lp(A) là Lp’(A) với

Dạng rời rạc của Lp

gồm các dãy
sao cho

Hai bất đẳng thức đặc trưng của không gian Lp(A) là

Nếu

, thì từ bất đẳng thức H
lder ta suy ra các phép nhúng liên tục của không gian Lp(A) và
:

Không gian các hàm khả vi: Không gian Sobolev

Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu một vài tính chất cơ bản của không gian Sobolev.

Ta đã biết rằng hàm

xác định trên
là liên tục tuyệt đối nếu với mọi
, tồn tại
sao cho với mọi
, thì
Hàm
liên tục tuyệt đối trên
khi và chỉ khi
tồn tại hầu khắp nơi.

Giả sử

là không gian Banach các hàm xác định trên
, ký hiệu
là không gian tuyến tính các hàm
sao cho
liên tục tuyệt đối và
Nửa chuẩn và chuẩn trên
lần lượt là

Đa thức Taylor và bất đẳng thức đạo hàm

Cho

Khi đó
có các đạo hàm liên tục cấp
. Vì vậy với mỗi
, đẳng thức

hoàn toàn được xác định, và được gọi là đa thức Taylor của

tại
. Bằng quy nạp và tích phân từng phần ta có

Chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng ước lượng sau đối với phần dư.f – Tr-1

Đánh giá:
0 dựa trên 0 đánh giá
Nội dung cùng tác giả
 
Nội dung tương tự