Tài liệu

Các phép tính đối với các biểu diễn

Mathematics and Statistics

Từ hai biểu diễn T(1)T(2) của một nhóm G, ta có thể thiết lập được một biểu diễn gọi là tích của chúng và ký hiệu là T(1) size 12{⊗} {}T(2). Từ một biểu diễn T nào đó của nhóm G ta có thể thiết lập được một biểu diễn T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} gọi là biểu diễn liên hợp với biểu diễn T. Các biểu diễn này có các định nghĩa như sau.

Định nghĩa tích của hai biểu diễn

Cho hai biểu diễn T(1)T(2) của một nhóm hữu hạn G trong các không gian vectơ L1L2 với các hệ vectơ cơ sở e1(1) size 12{e rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}, e2(1) size 12{e rSub { size 8{2} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}, …, ed1(1) size 12{e rSub { size 8{d1} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}, và e1(2) size 12{e rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}, e2(2) size 12{e rSub { size 8{2} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}, …, ed2(2) size 12{e rSub { size 8{d2} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}, d1 và d2 là thứ nguyên của L1L2. Tích của hai biểu diễn T(1)T(2) là biểu diễn T trong không gian L1 size 12{⊗} {}L2 thứ nguyên d1d2 với hệ vectơ cơ sở.

mà toán tử T( α size 12{α} {}) tương ứng với yếu tố α size 12{α} {} của nhóm G được xác định như sau

trong đó T(1)(a) size 12{T rSup { size 8{ \( 1 \) } } \( a \) } {}T(2)(a) size 12{T rSup { size 8{ \( 2 \) } } \( a \) } {} là hai toán tử trong hai không gian L1L2 tương ứng với yếu tố a của nhóm G. Ta viết

T = T(1) size 12{⊗} {}T(2).

Để chứng minh rằng các toán tử T(a) tạo thành một biểu diễn của nhóm G, nghĩa là thỏa mãn điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm

T(a) T(b) = T(ab),

ta chỉ cần dùng định nghĩa (12) và tính chất bảo toàn phép nhân nhóm của các biểu diễn T(1)T(2), cụ thể là

T(α size 12{α} {})(a) T(α size 12{α} {})(b) = T(α size 12{α} {})(ab), α size 12{α} {} = 1, 2

Ký hiệu các yếu tố ma trận của toán tử T(1)(a) và T(2)(a) trong các hệ vectơ cơ sở đã cho e1(1) size 12{e rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}, e2(1) size 12{e rSub { size 8{2} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}, …, ed1(1) size 12{e rSub { size 8{d1} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}e1(2) size 12{e rSub { size 8{1} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}, e2(2) size 12{e rSub { size 8{2} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}, …, ed2(2) size 12{e rSub { size 8{d2} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}Tij1 size 12{T rSub { size 8{ ital "ij"} } rSup { size 8{1} } } {}(a) và Tkl2 size 12{T rSub { size 8{ ital "kl"} } rSup { size 8{2} } } {}(a):

T (1) (a) ei(1) size 12{e rSub { size 8{i} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}= ej(1) size 12{e rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}T(ji)(1) size 12{T rSub { size 8{ \( ital "ji" \) } } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}( α size 12{α} {})

T (1) (a) ek(2) size 12{e rSub { size 8{k} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {} = el(2) size 12{e rSub { size 8{l} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}T(lk)(2) size 12{T rSub { size 8{ \( ital "lk" \) } } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}( α size 12{α} {})

Ta có

T(a)f(ik) = T(a)( ei(1) size 12{e rSub { size 8{i} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {} size 12{⊗} {}ek(2) size 12{e rSub { size 8{k} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {} ) = (T(1)(a) ei(1) size 12{e rSub { size 8{i} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}) size 12{⊗} {}(T(2)(a) ek(2) size 12{e rSub { size 8{k} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}) = ( ej(1) size 12{e rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {} size 12{⊗} {}el(2) size 12{e rSub { size 8{l} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}) T(ji)(1) size 12{T rSub { size 8{ \( ital "ji" \) } } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}( α size 12{α} {}) T(lk)(2) size 12{T rSub { size 8{ \( ital "lk" \) } } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}( α size 12{α} {}) =

f(jl)T(ji)(1) size 12{T rSub { size 8{ \( ital "ji" \) } } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}( α size 12{α} {}) T(lk)(2) size 12{T rSub { size 8{ \( ital "lk" \) } } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}( α size 12{α} {})

So sánh hai biểu thức của T(a) f(ji), ta thu được hệ thức diễn tả các yếu tố ma trận toán tử T(a) qua các yếu tố ma trân các nhóm toán tử T(1)(a) và T(2)(a)

Cho hai biểu diễn (unita) tối giản T(α size 12{α} {})T(β size 12{β} {}) của một nhóm G nào đó trên các không gian L(α size 12{α} {})L(β size 12{β} {}) với thử nhiệm d(α size 12{α} {})d(β size 12{β} {}). Tích

T = T(α size 12{α} {}) size 12{⊗} {}T(β size 12{β} {})

của hai biểu diễn này là một biểu diễn unita trên không gian

L = L(α size 12{α} {}) size 12{⊗} {}L(β size 12{β} {})

Nếu T không phải là tối giản thì nó hoàn toàn khả quy và có thể phân tách thành tổng trực giao của các biểu diễn tối giản T(γ size 12{γ} {}) trên các không gian L(γ size 12{γ} {}) thứ nguyên d(γ size 12{γ} {}). Trong số các biểu diễn tối giản T này có thể có các biểu diễn tương đương với nhau. Không gian L thực hiện biểu diễn T là tổng trực giao của các không gian con L(γ size 12{γ} {}) thực hiện các biểu diễn tối giản T(γ size 12{γ} {})

L=γL(γ) size 12{L= Sum cSub { size 8{γ} } cSup {} {⊕`L rSup { size 8{ \( γ \) } } } } {}.

Thứ nguyên của L

d=γd(γ) size 12{d= Sum cSub { size 8{γ} } cSup {} {d` rSup { size 8{ \( γ \) } } } } {}.

Mặt khác

d = d(α size 12{α} {})d(β size 12{β} {})

Vậy ta có hệ thức

Ký hiệu các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gian L(α size 12{α} {}), L(β size 12{β} {}), L(γ size 12{γ} {}) , v.v… là

e(α) size 12{e rSub { size 8{iα} } rSup { size 8{ \( α \) } } } {}, ia = 1, 2, …, d(α size 12{α} {})

e(β) size 12{e rSub { size 8{iβ} } rSup { size 8{ \( β \) } } } {}, ia = 1, 2, …, d(β size 12{β} {})

e(γ) size 12{e rSub { size 8{iγ} } rSup { size 8{ \( γ \) } } } {}, ia = 1, 2, …, d(γ size 12{γ} {})

v.v… Trong không gian L các vectơ có dạng

e ( α ) size 12{e rSub { size 8{iα} } rSup { size 8{ \( α \) } } } {} size 12{⊗} {} e ( β ) size 12{e rSub { size 8{iβ} } rSup { size 8{ \( β \) } } } {}

tạo thành một vectơ cơ sở trực giao chuẩn hóa Tập hợp tất cả các vectơ e(γ) size 12{e rSub { size 8{iγ} } rSup { size 8{ \( γ \) } } } {}, iy = 1, 2, …, d(γ size 12{γ} {}), với mọi chỉ số γ size 12{γ} {} có mặt trong vế phải công thức (14) cũng là một hệ các vectơ cở sở trực giao chuẩn hóa khác trong không gian L. Giữa các vectơ đơn vị của hai hệ này ta có các phép biến đổi unita sau đây

Các hệ số Cαiαβiβγiγ size 12{C rSub { size 8{αi"" lSub { size 6{α} } βi rSub { size 6{β} } } } rSup {γi rSub { size 6{γ} } } } {}trong các phép biến đổi (15) và (16) gọi là các hệ số Clebsh-Gordan.

Bây giờ ta đưa vào khái niệm biểu diễn T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} liên hợp với một biểu diễn T đã cho. Giả sử T(a) là các toán tử tuyến tính của biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L. Với mỗi yếu tố a của nhóm G ta hãy thiết lập toán tử sau đây

Với các yếu tố ma trận

Ta hãy thử lại bằng sự tương ứng giữa các yếu tố a của nhóm G và các toán tử T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a) bảo toàn phép nhân nhóm. Thực vậy, ta có

T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(ab) = T(ab)1)T size 12{ left [T \( ital "ab" \) rSup { size 8{ - 1} } \) right ] rSup { size 8{T} } } {}= T(b1)T(a1)T size 12{ left [T \( b rSup { size 8{ - 1} } \) `T \( a rSup { size 8{ - 1} } \) right ] rSup { size 8{T} } } {}= T(a1)T size 12{ left [T \( a rSup { size 8{ - 1} } \) right ] rSup { size 8{T} } } {}T(b1)T size 12{ left [T \( b rSup { size 8{ - 1} } \) right ] rSup { size 8{T} } } {}= T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a) T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(b).

Vậy toán tử T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a) cũng tạo thành một biểu thức biểu diễn của nhóm G. Ta có định nghĩa sau đây.

Định nghĩa biểu diễn liên hợp

Cho hai biểu diễn TT~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} của cùng một nhóm G trong hai không gian vectơ LL~ size 12{ {L} cSup { size 8{ "~" } } } {}. Nếu trong hai không gian LL~ size 12{ {L} cSup { size 8{ "~" } } } {} ta có thể chọn hai hệ vectơ cơ sở một cách thích hợp để các yếu tố ma trận Tij(a) và T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}ij(a) của các toán tử T(a) và T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a) của hai biến đổi này liên hệ với nhau bởi công thức

T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}ij(a) = Tji(a-1),

thì ta gọi T T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} là hai biểu diễn liên hợp với nhau.

Việc xét đồng thời hai biểu diễn liên hợp với nhau TT~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} cho phép ta thiết lập được một đại lượng bất biến đối với phép biến đổi của nhóm G. Thực vậy, trong hai không gian LL~ size 12{ {L} cSup { size 8{ "~" } } } {}thực hiện hai biểu diễn liên hợp với nhau TT~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} ta hãy chọn các hệ vectơ cơ sở e1, e2, …, edf1, f2, …., fd để co các yếu tố ma trận của các toán tử T(a) và T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a) thỏa mãn hệ thức (18). Trong không gian vectơ d2 chiều L size 12{⊗} {}L~ size 12{ {L} cSup { size 8{ "~" } } } {} ta hãy xét vectơ sau đây.

Ký hiệu tích của hai biểu diễn TT~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}T size 12{⊗} {}T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}. Các hoán tử của biểu diễn này tác dụng lên các vectơ cơ sở của không gian tích L size 12{⊗} {}L~ size 12{ {L} cSup { size 8{ "~" } } } {} như sau

(T size 12{⊗} {}T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}) (a) (ei size 12{⊗} {}fj) = (T(a)ei) size 12{⊗} {} ( T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a)fj) = (ek size 12{⊗} {}fl) Tki­(a) T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}lj(a)

Tác dụng của các hoán tử đó lên vectơ i xác định bởi công thức (19) và dùng hệ thức (18) giữa các yếu tố ma trận của các hoán tử T(a) và T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a), ta có

(T size 12{⊗} {} T ~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} ) (a) i = (T(a)e m ) size 12{⊗} {} ( T ~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} (a)f m ) = e k size 12{⊗} {} f l T km (a) T ~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} lm (a) = e k size 12{⊗} {} f l T km (a)T ml (a-1) = e k size 12{⊗} {} f l T kl (e) = e k size 12{⊗} {} f k = i

Vậy ta có định lý sau

Định lý. Vectơ

i = m = 1 d e m f m size 12{i= Sum cSub { size 8{m=1} } cSup { size 8{d} } {e rSub { size 8{m} } `⊗`f rSub { size 8{m} } } } {}

trong không gian L size 12{⊗} {} L ~ size 12{ {L} cSup { size 8{ "~" } } } {} thực hiện biểu diễn T size 12{⊗} {} T ~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} của nhóm G bất biến đối với mọi phép biến đổi (T size 12{⊗} {} T ~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} )(a) của biểu diễn tích T size 12{⊗} {} T ~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} . Do đó không gian con một chiều với vectơ đơn vị i thực hiện một biểu diễn tối gian một chiều chứa trong biểu diễn T size 12{⊗} {} T ~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} .

Hệ quả. Biểu diễn T size 12{⊗} {}T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}, là tích của một biểu diễn T và biểu diễn T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} liên hợp với nó, bao giờ cũng chứa biểu diễn tối giản một chiều.

Biểu diễn tối giản một chiều được thiết lập trong khi chứng minh định lý vừa trình bày ở trên thường diễn tả các đại lượng vật lý biến đổi với các phép biến đổi nhóm đối xứng. Do đó trong các bài toán vật lý ta thường sử dụng khái niệm biểu diễn liên hợp.

Tích của hai biểu diễn của nhóm Lie. Cho hai biểu diễn T(1)T(2) của nhóm Lie G trong hai không gian vectơ L1L2, T là tích của hai biểu diễn này. Các toán tử T( α1,α2,...,αs size 12{α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } } {}) của biểu diễn T có dạng

Ký hiệu các vi tử của các biểu diễn T(1)T(2)Xj1 size 12{X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{1} } } {}Xj2 size 12{X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{2} } } {}, j = 1, 2, …, s của biểu diễn TXj, j = 1, 2, …, s. Với các thông số αj size 12{α rSub { size 8{j} } } {}vô cùng bé ta có

trong đó I (1) I (2) là các toán tử đơn vị trong các không gian L1L2. Thay các biểu thức (21) vào trong vế phải công thức (20) và chỉ giữ lại các số hạng cấp một theo các thông số αj size 12{α rSub { size 8{j} } } {}, ta có

T( α1,α2,...,αs size 12{α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } } {}) = I - ij=1sαjXj(1)I(2)+I(1)Xj(2) size 12{i` Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{s} } {αj` left [X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } `⊗I rSup { size 8{ \( 2 \) } } `+`I rSup { size 8{ \( 1 \) } } `⊗X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } right ]} } {},

trong đó

I = I (1) size 12{⊗} {} I (2)

là toán tử đơn vị trong không gian L = L(1) size 12{⊗} {}L(2). So sánh với định nghĩa của các vi tử Xj ,

ta suy ra

Để viết hệ thức này dưới dạng chứa tường minh các yếu tố ma trận trong hai không gian L1L2 ta hãy chọn hai hệ vectơ cơ sở em1 size 12{e rSub { size 8{m} } rSup { size 8{1} } } {}, m = 1, 2, …, d1ep2 size 12{e rSub { size 8{p} } rSup { size 8{2} } } {}, p = 1, 2, …, d2, sau đó ta lấy các vectơ sau đây

e(mp) = em(1) size 12{e rSub { size 8{m} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {} size 12{⊗} {}ep(2) size 12{e rSub { size 8{p} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}

trong không gian L = L1 size 12{⊗} {}L2, m = 1, 2,…, d1, p = 1, 2, …, d2, làm hệ cơ sở của không gian này. Ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tử Xj(1) size 12{X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {}, Xj(2) size 12{X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {}Xj đối với các hệ cơ sở tương ứng nói trên vectơ là ( Xj(1) size 12{X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 1 \) } } } {})mm’, ( Xj(2) size 12{X rSub { size 8{j} } rSup { size 8{ \( 2 \) } } } {})pp’, và ( Xj size 12{X rSub { size 8{j} } } {})(mp)(m’p’). Công thức (23) cho ta

Cuối cùng, ta xét hai biểu diễn liên hợp với nhau TT~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} của một nhóm Lie G và ký hiệu các toán tử của hai biểu diễn này là T( α1,α2,...,αs size 12{α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } } {}) và T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}( α1,α2,...,αs size 12{α rSub { size 8{1} } ,`α rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,`α rSub { size 8{s} } } {}), ký hiệu các vi tử tương ứng với các tham số thực độc lập αj size 12{α rSub { size 8{j} } } {}XjXj~ size 12{ {X rSub { size 8{j} } } cSup { size 8{ "~" } } } {}. Chú ý rằng nếu a là một yếu tố của G với các tham số vô cùng bé αj size 12{α rSub { size 8{j} } } {} thì trong phép gần đúng cấp một yếu tố với các tham số - αj size 12{α rSub { size 8{j} } } {} sẽ là nghịch đảo a-1 của a. Do đó ta có các công thức

T(a-1) size 12{ approx } {} T( α1,α2,...,αs size 12{ - `α rSub { size 8{1} } ,` - `α rSub { size 8{2} } , "." "." "." ,` - `α rSub { size 8{s} } } {}) size 12{ approx } {} I + ij=1nαjXj size 12{i` Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } {α rSub { size 8{j} } `X rSub { size 8{j} } } } {}

và do đó

Mặt khác

Theo định nghĩa các biểu diễn liên hợp với nhau ta phải có

T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {}(a) = T(a-1)T size 12{ left [T \( a rSup { size 8{"-1"} } \) right ] rSup { size 8{T} } } {}

Thay vào đây các biểu thức (26) và (27), ta thu được hệ thức liên hệ các vi tử XjX~ j size 12{ {X} cSup { size 8{ "~" } } rSub { size 8{j} } } {} của hai biểu diễn liên hợp với nhau:

Nếu biết các vi tử của một biểu diễn T nào đó, dùng hệ thức (28) ta thiết lập được ngay các vi tử của biểu diễn T~ size 12{ {T} cSup { size 8{ "~" } } } {} liên hợp với T.

Đánh giá:
0 dựa trên 0 đánh giá
Nội dung cùng tác giả
 
Nội dung tương tự