Tài liệu

Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd

Mathematics and Statistics

Mỗi nhóm điểm Dn gồm các phép quay của nhóm con Cn, n phép quay góc π size 12{π} {}quanh n trục C2 trực giao với trục quay Cn và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểm Dnh gồm các phép quay của nhóm con Dn, phép phản xạ gương qua một mặt phẳng gương chứa các trục quay C2 của nhóm con này và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n cũng có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểm Dnd gồm các phép quay của nhóm điểm Dn, các phép phản xạ gương qua n mặt phẳng gương (chứa trục quay Cn) là cac mặt phẳng phân giác của các góc giữa hai trục quay C2, và các tổ hợp của chúng. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nhóm điểm Dnd chỉ có thể là một nhóm điểm tinh thể học nếu n có hai giá trị 2 và 3. Như vậy trong họ đang xét ta có 10 nhóm điểm tinh thể học sau đây.

1) Nhóm D2 có ba yếu tố đối xứng là các trục quay C2 vuông góc với nhau từng đôi một (xem hình 3.9). Trong một phép quay C2 quanh một trục nào đó mỗi trục khác chuyển thành chính nó nhưng đổi chiều ngược lại.

2) Nhóm D3 có bốn yếu tố đối xứng là một trục quay C3 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.10 ta kẻ cả ba trục quay C2 đó, chọn một trục quay trùng bởi trục tọa độ Ox. Trục quay C3 trực giao với mặt phẳng hình vẽ đi qua giao điểm O của ba trục quay C2.

3) Nhóm D4 có 5 yếu tố đố xứng là một trục quay C4 và bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.11 ta kẻ cả bốn trục quay C2 đó, chọn hai trục quay trùng với hai trục tọa độ OxOy. Khi đó hai trục quay C2 khác là các đường phân giác của hai góc vuông tạo bởi các trục OxOy. Trục quay C4 trực giao với mặt phẳng hình vẽ và đi qua giao điểm O của các trục quay C2.

4) Nhóm D6 có bảy yếu tố đối xứng là một trục quay C6 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.12 ta kẻ sáu trục quay C2 đó, chọn hai trục trùng với các trục tọa độ OxOy. Góc giữa hai trục quay C2 là một bội số của π6 size 12{ { {π} over {6} } } {}. Trục quay C6 trực giao với mặt phẳng hình vẽ và đi qua giao điểm O của các trục quay C2.

5) Nhóm D2h gồm các yếu tố của nhóm con D2, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {}chứa hai trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Ngoài các yếu tố đối xứng của nhóm D2 là ba trục quay C còn có thêm hai yếu tố đối xứng là mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} và tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của ba trục quay.

6) Nhóm D3h gồm các yếu tố của nhóm con D3, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa ba trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C3, ba trục quay C2 trực giao với trục quay C3 và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa ba trục quay C2.

7) Nhóm D4h gồm các yếu tố của nhóm con D4, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa bốn trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C4, bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa bốn trục quay C2 và tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của các trục quay.

8) Nhóm D6h gồm các yếu tố con của nhóm D6, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} chứa sáu trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Ngoài các yếu tố đối xứng đã biết của nhóm D6 còn có hai yêu tố đối xứng nữa là mặt phẳng gương σh size 12{σ rSub { size 8{h} } } {} và tâm ngịch đảo i trùng với giao điểm của các trục quay.

9) Nhóm D2d gồm các yếu tố của nhóm con D2, hai phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}qua hai mặt phẳng gương chứa một trục quay C2 và là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vuông tạo bởi hai trục quay C2 kia, và các tổ hợp của chúng. Ta cũng gọi hai mặt phẳng gương là σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}. Ta chọn giao tuyến của hai mặt phẳng gương này (một trục quay C2) làm trục Oz, chọn hai trục quay C2 trực giao với Oz làm hai trục OxOy. Trên hình 3.13 ta vẽ hai giao tuyến của hai mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} với mặt phẳng tọa độ xOy. Ba trục quay C2 và hai mặt phẳng gương σv size 12{σ rSub { size 8{v} } } {}, σ'v size 12{σ' rSub { size 8{v} } } {} là các yếu tố đối xứng.

10) Nhóm D3d gồm các yếu tố của nhóm con D3, ba phép phản xạ gương qua ba mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ''d size 12{σ"''" rSub { size 8{d} } } {} chứa trục quay C3. Trên hình 3.14 ta vẽ ba giao tuyến của ba mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ''d size 12{σ"''" rSub { size 8{d} } } {} với mặt phẳng tọa độ xOy chứa ba trục quay C2. Trục quay C2 và ba mặt phẳng gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ''d size 12{σ"''" rSub { size 8{d} } } {} là các yếu tố đối xứng.

Cuối cùng ta hãy thử lại rằng không thể có nhóm điểm tinh thể học loại Dnd với n là một trong hai số nguyên 4 hoặc 6. Ta hãy xét kỹ nhóm D4d. Với nhóm D6d có thể lặp lại các lập luận tương tự.

Nhóm D4d chứa các yếu tố của nhóm con D4 đã biết ở trên. Ta chọn trục quay C4 làm trục tọa độ Oz, chọn mặt phẳng chứa các trục quay C2 làm mặt phẳng tọa độ xOy, chọn hai trục quay C2 trực giao với nhau làm hai trục tọa độ OxOy. Hai trục quay C2 kia hướng theo hai đường phân giác của hai góc vuông tạo bởi hai trục OxOy. Hình vuông tâm O trên mặt phẳng xOy với hai cạnh song song với hai trục tọa độ (hình 3.15) có tính chất đối xứng (bất biến) đối với tất cả các phép biến đỏi của nhóm con D4.

Ngoài các yếu tố đối xứng của nhóm D4 là trục quay C4 và bốn trục quay C2 ta hãy thử đưa thêm các yếu tố đối xứng mới là bốn mặt phẳng phân giác của các góc π4 size 12{ { {π} over {4} } } {}tạo bởi các trục quay C2 từng đôi một, và xét các phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ''d size 12{σ"''" rSub { size 8{d} } } {}, σ'''d size 12{σ"'''" rSub { size 8{d} } } {} qua bốn mặt phẳng gương này (hình 3.16). Rõ ràng rằng hình vuông đối xứng (bất biến) đối với nhóm con D4 không thể đối xứng (bất biến) đối với các phép phản xạ gương σd size 12{σ rSub { size 8{d} } } {}, σ'd size 12{σ' rSub { size 8{d} } } {}, σ''d size 12{σ"''" rSub { size 8{d} } } {}, σ'''d size 12{σ"'''" rSub { size 8{d} } } {} . Trái lại, trong các phép phản xạ gương này hình vuông đã cho chuyển thành một hình vuông đồng tâm khác đã quay đi một góc π8 size 12{ { {π} over {8} } } {}so với hình vuông ban đầu (hình 3.17). Phối hợp cả hai hình vuông ta được một hình sao tám cạnh đối xứng với nhóm C8 mà trục quay là trục Oz. Vậy nhóm D4d phải chứa nhóm con C8. Nhưng ta lại biết rằng không có nhóm điểm tinh thể học nào chứa nhóm con C8. Vậy D4d không thể là nhóm điểm tinh thể học. Nhóm D6d cũng không thể là nhóm điểm tinh thể học.

Tóm lại, trong các nhóm Dn, DnhDnd có 10 nhóm điểm tinh thể học đã trình bày ở trên. Trong số các mặt phẳng tạo bởi các trục quay giao nhau là các yếu tố đối xứng của các nhóm điểm đang xét luôn luôn có các cặp mặt phẳng trực giao với nhau từng đôi một. Do đó các nhóm điểm này tạo thành một họ gọi là họ nhị diện (dihedral).

Đánh giá:
0 dựa trên 0 đánh giá
Nội dung cùng tác giả
 
Nội dung tương tự