Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Ta định nghĩa phép quay – phản xạ gương S_n là tổ hợp của phép quay C_n quanh một trục nào đó và phép phản xạ gương ${\sigma }_h$ qua một mặt phẳng gương ${\sigma }_h$ trục giao với trục quay. Bây giờ trục quay này được gọi là trục quay – phản xạ gương S_n. Vì C_n và ${\sigma }_h$ giao hoán với nhau nên thứ tự của chúng trong định nghĩa của S_n không quan trọng.

Vì rằng

${\sigma }_h^2$ = E

cho nên

Nhóm vòng sinh ra bởi các phép quay – phản xạ gương S_n gọi là nhóm S_n . Theo công thức (26) nhóm giao hoán S_n chứa tất cả các phép quay – phản xạ gương lẫn các phép quay nếu n > 2. Trong trường hợp đặc biệt n = 2 ta có

$S_n^2=C_n^2=E$

cho nên nhóm vòng S₂ chỉ có hai yếu tố là E và S₂. Theo công thức ${\sigma }_h{C}_2=C_2{\sigma }_h=i$ ta lại có S₂ = i. Vậy nhóm S₂ trùng với nhóm C_i đã trình bày ở trên. Xét trường hợp n = 3. Nhóm giao hoán S₃ có sáu yếu tố khác nhau sau đây: E, S₃ = ${\sigma }_h$C₃, $S_3^2=C_3^2$, $S_3^2=C_3^2$, $S_3^3={\sigma }_h$, $S_3^4=C_3^4$, $S_3^5={\sigma }_h{C}_3^2$. Đó chính là sáu yếu tố của nhóm C₃h đã trình bày ở trên. Vậy chỉ có hai nhóm Snvới n = 4 và n = 6 là hai nhóm mới.

1) Nhóm S₄ là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, S₄ = ${\sigma }_h$C₄, $S_4^2=C_2$, $S_4^3=S_4^{-1}$, vì rằng $S_4^4=E$. Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay – phản xạ gương S₄.

2) Nhóm S₆ là nhóm giao hoán gồm sáu yếu tố E, S₆ = ${\sigma }_h$C₆, $S_6^2=C_3$, $S_6^3={\sigma }_h{C}_2=i$, $S_6^4=C_3^{-1}$, $S_6^5={\sigma }_h{C}_6^{-1}$. Ngoài trục quay – phản xạ gương S₆ còn có một yếu tố đối xứng nữa là tâm nghịch đảo i nằm trên trục quay S₆.