Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Trong tinh thể có sự xếp đặt tuần hoàn của các nguyên tử cùng một loại. Do đó vị trí của một tinh thể (vô hạn) không thay đổi nếu ta thực hiện các phép tịnh tiến tinh thể những đoạn R có dạng

trong đó a, b, c là ba vectơ không nằm trong cùng một mặt phẳng, còn l, m, n là ba số nguyên. Ta quy ước chọn các vectơ a, b, c trong công thức (34) thế nào để cho dọc theo hướng của mỗi vectơ trong số ba vectơ này thì đó là vectơ có chiều dài ngắn nhất (xem hình 3.28), và gọi là các vectơ tịnh tiến cơ sở

Hình hộp mà ba cạnh là ba vectơ tịnh tiến cơ sở được gọi là ô cơ sở. Với ba vectơ tịnh tiến cơ sở a, b, c đã cho điểm cuối của các vectơ R xác định bởi công thức (34) với ba số nguyên tùy ý l, m, n tạo thành một mạng trong không gian gọi là mạng Bravais. Mạng Bravais chia không gian thành các ô cơ sở giống hệt nhau và xếp đặt liên tiếp nhau để lấp kín toàn bộ không gian. Tất cả các nút của mạng Bravais đều nằm ở các đỉnh của các cơ sở và do đó trung bình mỗi ô cơ sở chứa một nút. Với cùng mọt mạng Bravais đã cho ta có thể chọn các ô cơ sở bằng nhiều cách khác nhau. Trên hình 3.29 ta trình bày vài cách lựa chọn ô cơ sở trên cùng một mạng Bravais hai chiều.

Có những mạng Bravais đối xứng với một nhóm điểm nào đó, song các ô cơ sở của nó thì dù cho có chọn bằng cách nào đi nữa vẫn không thể đối xứng với nhóm điểm này. Thí dụ như mạng Bravais hai chiều trên hình 3.30 đối xứng đối với nhóm quay C₆ quanh các trục đi qua các nút bất kỳ của mạng và trực giao với mặt phẳng hình vẽ, song ô cơ sở lại là hình bình hành và không đối xứng đối với nhóm này. Khi mà ô cơ sở không có các tính chất đối xứng của mạng Bravais, nghĩa là không đối xứng đối với tất cả các phép biến đổi điểm là các phép đối xứng của mạng Bravais, thì thay cho ô cơ sở ta dùng ô cơ sở đối xứng được định nghĩa như sau. Một hình đa diện với các đỉnh là các nút của một mạng Bravais được gọi là một ô đối xứng nếu nó có tất cả các tính chất đối xứng của mạng này, nghĩa là nếu nó đối xứng (bất biến) đối với tất cả các phép biến đổi của một nhóm điểm là nhóm đối xứng của mạng Bravais đã cho. Ô đối xứng có thể tích nhỏ nhất gọi là ô cơ sở đối xứng. Nếu ô cơ sở có tất cả các tính chất đối xứng của mạng Bravais thì chính nó là ô cơ sở đối xứng. Nếu không phải là như vậy thì ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của một ô cơ sở đối xứng ô này còn chứa thêm các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó hoặc tại tâm điểm các mặt ngoài của nó.

Thí dụ như trong mạng Bravais hai chiều vẽ trên hình 3.30 ô cơ sở đối xứng là hình lục giác đều vẽ bằng đường chấm chấm và tâm của hình lục giác này cũng là một nút của mạng Bravais, còn ô cơ sở là các hình bình hành vẽ bằng đường liền nét. Để đặc trưng các ô cơ sở đối xứng một cách định lượng ta sử dụng các đại lượng hình học sau đây. Từ một đỉnh của ô cơ sở đối xứng ta vẽ ba vectơ a, b, c không nằm trong cùng một mặt phẳng nối liền đỉnh này với ba đỉnh gần nhất của ô đó. Ba góc $\alpha ,\beta ,\gamma$ giữa các vectơ a, b, c từng đôi một và hai tỷ số giữa các chiều dài a, b, c của ba vectơ này hoàn toàn xác định các tính chất đối xứng của ô đang xét.

Vì một ô cơ sở đối xứng nào đó có thể chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó hoặc tại tâm điểm các mặt ngoài của nó, mà lại cũng có thể không chứa nút nào ngoài các đỉnh của nó, cho nên có nhiều mạng Bravais khác nhau với cùng một ô cơ sở đối xứng. Tất cả các mạng Bravais có chung nhau một ô cơ sở đối xứng tạo thành một hệ. Các mạng Bravais trong cùng một hệ có các tính chất đối xứng giống nhau; đó là các tính chất đối xứng của ô cơ sở đối xứng của các mạng trong hệ này. Sự phân loại các mạng Bravais thành các hệ chính là sự phân loại căn cứ vào các tính chất đối xứng của chúng. Có tất cả 14 mạng Bravais, chia thành bảy hệ như sau.

1. Hệ lập phương (cubic)

Ô cơ sở đối xứng là hình lập phương. Các mạng của hệ này gọi là các mạng lập phương. Có ba trường hợp tương ứng với ba mạng lập phương khác nhau.

a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.31a), không có nút nào ở trong thể tích hoặc tại những điểm không phải là đỉnh trên mặt ngoài; ô cơ sở đối xứng chính là ô cơ sở. Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương đơn (simple).

b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa thêm một nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó (hình 3.31b). Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương tâm thể (body - centered).

c) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa thêm các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của tất cả các hình vuông là các mặt ngoài của hình lập phương (hình 3.31c). Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương tâm diện (face - centered).

2. Hệ tứ giác (tetragonal)

Ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vuông mà chiều cao của hình trục có giá trị khác chiều dài của cạnh hình vuông (tứ giác đều) là đáy hình trụ. Các mạng của hệ này gọi là các mạng tứ giác. Ta hãy chứng minh rằng vì chiều cao c có thể có giá trị khác với chiều dài a của cạnh đáy cho nên mỗi mạng tâm diện đồng thời cũng là mạng tâm thể. Thực vậy, xét một ô cơ sở đối xứng của mạng tâm diện (hình 3.32a) với mặt đáy trên là hình vuông có bốn đỉnh A₁, A₂, A₃, A₄ và tâm điểm O, bốn mặt xung quanh là bốn hình chữ nhật có các tâm điểm C₁, C₂, C₃, C₄, Hình chiếu các điểm C₁, C₂, C₃, C₄ trên mặt phẳng đáy là hình vuông C’₁, C’₂, C’₃, C’₄.

Vẽ hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình vuông C₁C₂C₃C₄ và chiều cao bằng chiều cao c của ô cơ sở đối xứng đang xét của mạng tâm diện. Các giao tuyến của mặt phẳng hình vuông A₁A₂A₃A₄ với bốn mặt xung quanh của hình trụ đáy C₁C₂C₃C₄ là các cạnh của hình vuông C’₁C’₂C’₃C’₄ trên hình 3.32b. Xét thêm bốn hình trụ thẳng đứng có chung bốm mặt bên với hình trụ đáy là hình vuông C1C2C₃C4 . Bốn hình trụ này cắt mặt phẳng hình vuông A₁A₂A₃A₄ theo bốn hình vuông mà mỗi hình có chung một cạnh với hình vuông C’₁C’₂C’₃C’₄ (xem hình 3.32b).

Các hình vuông đó chứa bốn nút A₁, A₂, A₃, A₄ tại các tâm điểm của chúng, còn tâm điểm O của hình vuông A₁A₂A₃A₄ thì trùng với tâm điểm của hình vuông C’₁C’₂C’₃C’₄. Nút O và các nút A₁, A₂, A₃, A₄ của mạng tâm diện đang xét lại cũng chính là tâm điểm của hình trụ thẳng đứng đáy là hình vuông C₁C₂C₃C₄ và bốn hình trụ thẳng đứng khác mà mỗi hình có chung một mặt bên với hình trụ đáy vuông C₁C₂C₃C₄ – các ô cơ sở đối xứng của mạng tâm thể. Vậy mạng tứ giác tâm diện với ô cơ sởdđói xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vuông A₁A₂A₃A₄ đồng thời là mạng tứ giác tâm thể với ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vuông C₁C₂C₃C₄ có cùng chiều cao. Vậy chỉ có hai trường hợp khác nhau:

a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.32c). Ta có mạng tứ giác đơn.

b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ô này còn chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của chúng (hình 3.32d). Ta có mạng tứ giá tâm thể

3. Hệ trực giao (orthorombic)

Ô cơ sở đối xứng là hình hộp chữ nhật mà cả ba cạnh đều khác nhau. Tất cả các cạnh đó trực giao với nhau từng đôi một. Do đó các mạng thuộc hệ này gọi là các mạng trực giao. Có bốn trường hợp khác nhau.

a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các nút của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.33a). Mạng Bravais là mạng trực giao đơn.

b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ô này còn chứa các nút của mạng Bravais tại các tâm điểm của chúng (hình 3.33b). Trong trường hợp này ta có mạng trực giao tâm thể.

c) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ô này còn chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm tất cả các hình chữ nhật là các mặt ngoài của chúng (hình 3.33c). Mạng Bravais được gọi là mạng trực giao tâm diện.

d) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa thêm hai nút của mạng Bravais tại tâm điểm của hai hình chữ nhật là hai mặt ngoài song song của nó (hình 3.33d). Ta gọi hai hình chữ nhật có chứa thêm nút tại tâm điểm là hai mặt đáy. Trong trường hợp này mạng Bravais được gọi là mạng trực giao tâm đáy (base - centered).

4. Hệ đơn tà (monoclinic)

Ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình bình hành; cả ba cạnh có chiều dài khác nhau. Ta có thể thu được ô cở sở đối xứng này bằng cách lấy một hình hộp chữ nhật ba cạnh có chiều dài khác nhau, giữ nguyên hướng của các mặt đáy và một cặp mặt bên nhưng làm cho hướng của cặp mặt bên thứ hai bị xiên đi ( $\gamma$ từ 90⁰ trở nên khác 90⁰). Vì thế các mạng thuộc hệ này gọi là các mạng đơn tà. Có hai trường hợp:

a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.34a), mạng Bravais là mạng đơn tà đơn.

b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa hai nút tại tâm điểm của hai mặt đáy hình bình hành (hình 3.34b), mạng Bravais là mạng đơn tà tâm đáy.

5. Hệ tam tà (triclinic)

Ô cơ sở đối xứng là hình hộp bình hành xiên ba cạnh khác nhau, cả ba góc giữa các cạnh đều không phải là góc vuông và là các góc nhọn hoặc góc tù tùy ý. Ô cơ sở đối xứng này có thể thu được từ hình hộp chữ nhật bằng cách làm xiên đi theo cả ba hướng. Do đó có tên gọi là hệ tam tà. Phép nghịch đảo là phép đối xứng duy nhất của mạng Bravais tam tà. Vì ô cơ sở đối xứng cũng không đối xứng nên hệ chỉ có một loại mạng là mạng tam tà đơn (hình 3.35).

6. Hệ lục giác (hexagonal)

Ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng mà đáy là hình lục giác đều. Ngoài sáu đỉnh là sáu nút của mạng Bravais mỗi mặt đáy còn chứa một nút tại tâm điểm của nó (hình 3.36). Vậy hệ này chỉ có một mạng là mạng lục giác tâm đáy.

7. Hệ tam giác (trigonal)

Ô cơ sở đối xứng của mạng này là một hình có tám đỉnh và 12 mặt xung quanh là 12 tam giác cân, thu được bằng cách làm biến dạng hình lập phương như sau.

Lấy một hình lập phương mà các cạnh là những đoạn thẳng cứng không thể bị uốn cong, không co dãn được, song các góc giữa các cạnh thì có thể thay đổi khi hình lập phương bị làm biến dạng. Chọn hai đỉnh A và D xuyên tâm đối và lấy đường chéo AD làm một trục cố định (hình 3.37a).

Kéo hai đỉnh A và D của hình lập phương dọc theo trục cố định này theo hai chiều ngược nhau làm cho hình này dài ra theo hướng AD và bị làm hẹp lại theo các hướng khác, ta thu được một hình mới gọi là rhombohedron (hình 3.37b) mà các cạnh có chiều dài bằng các cạnh của hình lập phương ban đầu, các góc giữa các cạnh trở nên khác góc vuông nhưng ba góc ở đỉnh A cũng như ba góc ở đỉnh D vẫn bằng nhau, còn mỗi hình vuông là mặt xung quanh của hình lập phương ban đầu thì trở thành một hình thoi bị gập lại một chút dọc theo đường chéo ngắn, nghĩa là trở thành hai tam giác cân có chung cạnh đáy và nằm trên hai mặt phẳng khác nhau.

Ba đỉnh B₁, B₂, B₃ mà mỗi đỉnh có chung một cạnh với đỉnh A tạo thành một tam giấc đều trên một mặt phẳng trực giao với trục AD. Ba đỉnh C₁, C₂, C₃ mà mỗi đỉnh có mọt canh chung với đỉnh D cũng tạo thành một tam giác đều trên một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng tam giác B₁B₂B₃. Ta hãy chọn mặt phẳng chứa tam giác đều B₁B₂B₃ làm mặt phẳng hình vẽ (hình 3.37c) và ký hiệu hình chiếu của tam giác đều C₁C₂C₃ trên mặt phẳng này là C’₁C’₂C’₃ , hình chiếu chung của hai đỉnh A và D là O. Hai tam giác đều B₁B₂B₃ và C’₁C’₂C’₃ có chung nhau tâm điểm O (hình 3.37c).

Mạng Bravais đang xét có các phép đối xứng là phép đối xứng của hình tam giác đều cho nên nó được gọi là mạng tam giác. Hệ mạng này chí có một mạng đơn. Mỗi mạng trong không gian gồm các mạng hai chiều song song với nhau; mỗi mạng hai chiều là một mạng gồm các nút xếp đặt ở đỉnh của các tam giác đều, mà các nút trên một mặt phẳng thì nằm trên các đường thẳng trực giao với nó và đi qua tâm điểm của các tam giác đều trên mặt phẳng lân cận với nó, cứ ba mặt phẳng liên tiếp thì được một chu kỳ. Trên hình 3.37d ta trình bày hình chiếu của hai mạng phảng trên mặt phẳng của mạng hai chiều thứ ba. Vì ô cơ sở có dạng hình rhombohedrom cho nên hệ này còn có tên là hệ rhombohedral.

Chúng ta đã phân loại các mạng Bravais thành bảy hệ căn cứ vào nhóm tất cả phép biến đổi điểm là các phép đối xứng của mạng này, gọi tắt là nhóm đối xứng điểm của nó. Ta lại biết rằng có tất cả 32 nhóm điểm tinh thể học, nghĩa là tinh thể có thể đối xứng đối với một trong 32 nhóm điểm này. Ta hãy xét xem nếu ta biết được nhóm điểm đối xứng điểm của tinh thể là nhóm nào thì có thể biết ngay được tinh thể thuộc hệ nào hay không. Trước hết ta chú ý rằng một yếu tố đối xứng điểm của tinh thể cũng phải là một yếu tố đối xứng của mạng Bravais, vì phép biến đổi điểm của tinh thể không thay đổi vịt rí của nó thì cũng không làm thay đổi vị trí của ô cơ sở đối xứng (ngược lại chưa chắc chắn đã đúng, vì một ô cơ sở đối xứng có thể chứa nhiêu nguyên tử, và một phép biến đổi không thay đổi vị trí của ô cơ sở đối xứng vẫn có thể làm thay đổi vị trí của các nguyên tử trong ô này). Ta hxay viết ra tất cả các yếu tố đối xứng điểm của các mạng Bravais thuộc mỗi hệ trong số tất cả bảy hệ. Khi ta cho một tinh thể với một nhóm đối xứng điểm nào đó, ta xem nó có những yếu tố nào, rồi hãy tìm tất cả những hệ có các yếu tố đối xứng này, và chọn hệ có tính chất đối xứng thấp nhất trong số các hệ đó làm hệ của tinh thể đã cho. Ô cơ sở đối xứng của hệ được chọn phản ánh sát nhất các tính chất đối xứng của tinh thể đã cho. Thí dụ như nếu nhóm đối xứng điểm của một tinh thể nào đó chỉ chứa phép quay C₂ nhưng không chứa phép quay C₄ nào cả, thì tinh thể chỉ có thể thuộc vào hệ mà ô cơ sở đối xứng có trục trục quay bậc hai nhưng không có trục quay bậc bốn, mặc dầu nhóm điểm đã cho cũng có thể là nhóm con của một nhóm đối xứng C₄.

Bây giờ ta xét từng hệ và tìm xem mỗi hệ có thể chứa các tinh thể với các nhóm điểm đối xứng nào. Ta đi từ hệ có tính chất đối xứng thấp đến các hệ có tính chất đối xứng cao hơn.

Hệ tam tà. Ngoài phép biến đổi đồng nhất, cũng là phép quay C₁, mạng tam tà chỉ bất biến đối với phép nghịch đảo i và do đó chỉ có hai yếu tố đối xứng là trục quay C₁ (yếu tố tầm thương) và tâm nghịch đảo. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng này là C₁ và Ci.

Hệ đơn tà. Ngoài các phép nghịch đảo dã nói ở trên các mạng đơn tà có các yếu tố đối xứng sau đây: trục quay C₂ và mặt phẳng gương ${\sigma }_h$trực giao với trục quay. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng này là C₁h, C₂ và C₂h.

Hệ trực giao. Ngoài phép nghịch đảo thì các mạng trực giao có các yếu tố đối xứng sau đây: ba trục quay C₂ và ba mặt phẳng gương $\sigma$, mỗi mặt phẳng trực giao với một trục quay C₂ và chứa hai trục kia cho nên vừa có thể xem là mặt thẳng đứng ${\sigma }_v$, vừa có thể xem là mặt nằm ngang ${\sigma }_h$. Các nhóm đối xứng sau đây chứa các yếu tố đối xứng này mà chưa được phép vào hệ trước: D₂, D₂h và C₂v . (Nhóm C₂h cũng chứa các yếu tố đó nhưng đã được ghép vào hệ đối xứng thấp hơn là hệ đơn tà).

Hệ tam giác. Ngoài phép nghịch đảo thì hình tam giác đều – ô cơ sở đối xứng của mạng tam giác, tức là chính mạng Bravais của hệ tam giác, có các yếu tố đối xứng sau đây: một trục quay C₃, ba mặt phẳng gương ${\sigma }_v$ chứa trục quay mà mỗi mặt phẳng đó chứa một đỉnh không nằm trên trục quay C₃ (các đỉnh B₁, B₂, B₃, hoặc C₁, C2, C₃ trên hình 3.37b), ba trục quay C₂ trực giao với trục quay C₃ tại tâm điểm của hình rhombohedron và song song với một cạnh của hai tam giác đều mà mỗi tam giác tạo bởi ba đỉnh, mỗi đỉnh có một cạnh chng với cùng một đỉnh trên trục C₃ (các tam giác đều B₁B₂B₃ hoặc C₁C₂C₃ trên hình 3.37b). Các nhóm điểm sau đây có các yếu tố đối xứng nói trên: C₃, C_3v, S₆, D3 và D3d.

Hệ lục giác. Ngoài phép nghịch đảo i thì mạng lục giác có các yếu tố đối xứng sau đây: một trục quay C₆, một mặt phẳng gương ${\sigma }_h$trực giao với trục quay C₆, sáu mặt phăng gương ${\sigma }_v$ chứa trục quay C₆, sáu trục quay C₂ trực giao với trục quay C₆ tại tâm nghịch đảo i của ô cơ sở đối xứng. Các nhóm điểm sau đây có các yếu tố đối xứng nói trên và chưa được ghép và các hệ trước: C₃h, C₆, C₆h, C₆v, D₃h, D₆ và D₆h. Chú ý rằng nhóm điểm S₆ cũng có các yếu tố đối xứng của hệ lục giác, song đã được ghép vào hệ tam giác là hệ có tính chất đối xứng thấp hơn.

Hệ tứ giác. Ngoài tam nghịch đảo i thì các mạng tứ giác có các yếu tố đối xứng sau đây: một trục C₄, một mặt phẳng gương ${\sigma }_h$trực giao với trục quay C₄, bốn mặt phẳng gương ${\sigma }_v$ chứa trục quay C₄, hai trục quay C₂, bốn mặt phẳng gương mà hai mặt phẳng trực giao với hai trục quay C₂, còn hai mặt phẳng kia chứa hai trục quay này và trùng với hai mặt phẳng chứa trục quay C₄. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng nói trên là các nhóm điểm sau đây: C₄, S₄, C₄v, D₂d, D₄ và D_4h.

Hệ lập phương. Ngoài tâm nghịch đảo i thì các mạng lập phương có các yếu tố đối xứng sau đây: ba trục quay C₄, bốn trục quay C₃, sáu trục quay C₂, ứng với mỗi trục quay C₄ có mặt phẳng gương ${\sigma }_h$trực giao với nó và bốn mặt phẳng gương ${\sigma }_v$ chứa trục quay này, ứng với mỗi trục quay C₃ có một mặt phẳng gương ${\sigma }_h$trực giao với nó và ba mặt phẳng gương ${\sigma }_v$chứa trục quay này, ứng với mỗi trục quay C₂ có một mặt phẳng gương ${\sigma }_h$trực giao với nó và hai mặt phẳng gương ${\sigma }_v$ chứa trục quay này, trong đó một số mặt phẳng gương kể trên có thể trùng nhau. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng nói trên là các nhóm điểm sau đây: T, Th, Td, O và Oh.

Tóm lại, căn cứ vào đặc điểm của các yếu tố đối xứng chính của nhóm điểm, 32 nhóm điểm tinh thể học được phân loại theo bảy hệ trùng với bảy hệ mạng Bravais. Sự phân loại đó được tóm tắt trong bảng sau đây.

Bảng phân loại các nhóm điểm ${\sigma }_v$

Sau khi đã nghiên cứu kỹ về các mạng Bravais bây giờ chúng ta trình bày một số cấu trúc tinh thể điển hình.

Cấu trúc dạng NaCl. Mạng Bravais là mạng lập phương tâm diện. Ta lấy chiếu dài $\alpha$của mỗi cạnh cảu ô cơ sở đối xứng làm đơn vị chiều dài. Tinh thể NaCl gồm hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau một cách đối xứng, một mạng gồm các nguyên tử Na nằm ở các nút, gồm các đỉnh của ô cơ sở đối xứng là các điểm (000), (1,00), (010), (001), (110), (101), (011)… và các tâm điểm của các mặt bên ô cơ sở đối xứng là các điểm $\left(0\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}0\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}\frac{1}{2}0\right)$, $\left(\mathrm{1,}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}1\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}\frac{1}{2}1\right)$, …, còn mạng kia gồm các nguyên tử Cl nằm ở trung điểm các cạnh cảu ô cở sở đối xứng là các điểm $\left(\text{00}\frac{1}{2}\right)$, $\left(0\frac{1}{2}0\right)$, $\left(\frac{1}{2}\text{00}\right)$, $\left(\text{01}\frac{1}{2}\right)$, $\left(\text{10}\frac{1}{2}\right)$, $\left(1\frac{1}{2}0\right)$, $\left(\frac{1}{2}\text{01}\right)$, $\left(\frac{1}{2}\text{10}\right)$…, và tâm điểm $\left(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right)$ của ô cơ sở đối xứng (hình 3.38). Hằng số mạng a của các tinh thể loại NaCl đo bằng đơn vị $\stackrel{°}{A}$được trình bày trong bảng sau đây

Cấu trúc dạng CsCl. Mạng Bravais là mạng lập phương đơn. Ta lấy chiều dài a của mỗi cạnh của ô cơ sở làm đơn vị chiều dài. Tinh thể CsCl gồm hai mạng lập phương đơn lồng vào nhau một cách đối xứng, một mạng gồm các nguyên tử Cs nằm ở các đỉnh của các hình lập phương của mạng Bravais là các điểm (000), (100), (010), (001), (110), (101), (011)… còn mạng kia gồm các nguyên tử Cl nằm ở tâm điểm các hình lập phương đó, nghĩa là ở các điểm $\left(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{3}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{3}{2}\right)$… (hình 3.39).

Hằng số mạng a của các tinh thể dạng CsCl đo bằng đơn vị $\stackrel{°}{A}$ được trình bày trong bảng sau đây:

Cấu trúc dạng kim cương. Mạng Bravais là mạng lập phương tâm diện. Ta chọn chiều dài a của ô cơ sở đối xứng làm đơn vị chiều dài. Mỗi ô cơ sở có hai nguyên tử C. Mạng tinh thể kim cương gồm các nguyên tử C nằm ở các nút chai của hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, một mạng xê dịch đi so với mạng kia dọc theo đường chéo của ô cơ sở đối xứng của mạng đó, độ dịch bằng $\frac{1}{4}$đường chéo. Nếu một mạng có một đỉnh ở điểm có tọa độ (000) thì đỉnh tương ứng của mạng thứ hai có tọa độ $\left(\frac{1}{4}\frac{1}{4}\frac{1}{4}\right)$. Cấu trúc nói trên được trình bày trên hình 3.40a.

Nếu chiếu tất cả các nguyên tố C lên mặt phẳng đáy thì ta thu được các điểm vẽ trên hình 3.40b.

Chữ số ghi cho mỗi loại điểm là chiều cao của vị trí của nguyên tử C chiếu lên điểm đó. Hằng số mạng của kim cương là 3,56 $\stackrel{°}{A}$. Các tinh thể có cấu trúc dạng kim cương là Si và Ge. Hằng số mặng của các tinh thể này bằng 5,43 $\stackrel{°}{A}$ và 5,65 $\stackrel{°}{A}$.

Cấu trúc dạng kẽm pha ZnS. Mạng Bravais là mạng lập phương tâm diện. Tinh thể gồm hai mạng lập phương tam diện lồng vào nhau giống như tinh thể kim cương, song một mạng gồm các nguyên tố Zn ở các nút, còn mạng kia gồm các nguyên tử S ở các nút, mạng nọ xe dịch đi so với mạng kia dọc theo đường chéo, độ dịch bằng $\frac{1}{4}$đường chéo.Hằng số mạng của các tinh thể dạng kẽm pha đo bằng $\stackrel{°}{A}$được trình bày trong bảng sau đây:

Cấu trúc dạng lục giáp xếp chặt. Mạng Bravais là mạng lục giác. Ngoài các nguyên tử nằm ở các nút của mạng Bravais trong ô cớ sở đối xứng còn có các nguyên tử nằm trên mặt phẳng gương ${\sigma }_h$chia đôi hình trụ đáy lục giá đều, ở những điểm là tâm của các hình tam giác đều mà các đỉnh là hình chiếu của các nút trên mặnt phẳng này (hình 3.41).

Tỷ số hai kích thước c và a phải thoả mãn điều kiện $\frac{a}{c}\approx {\left(\frac{8}{3}\right)}^{}$. Các hằng số mạng của một số kim loại có cấu trúc lục giác xếp chặt được trình bày trong bảng sau đây.

Ngoài dạng cấu trúc kẽm pha, ZnS cũng còn tồn tại dưới dạng cấu trúc tinh thể dạng lục giác.

Ô cơ sở Wigner – Seitz

Khi nghiên cứu các mạng Bravais ngoài ô cơ sở đối xứng chứa các nút của mạng tại các đỉnh, tại tâm điểm các mặt bên và tại tâm điểm của ô ta còn thường chia tinh thể thành các ô loại đặc biệt gọi là ô cơ sở Wigner – Seitz có tất cả các tính chất đối xứng của mạng Bravais và có thể tích bằng thể tích ô cơ sở. Các ô cơ sở Wigner – Seitz được tạo thành như sau. Ta chọn một nút của mạng Bravais làm gốc và nối nó với các nút gần nhất của mạng này bằng các đoạn thẳng rồi vẽ các mặt phẳng trực giao với các đoạn thẳng này ở các trung điểm của chúng. Các mặt đó sẽ tạo nên một hình đa diện. Đó chính là ô cơ sở Wigner – Seitz . Nếu mạng Bravais đối xứng với một phép biến dổi điêể g nào đó thì trong phép biến đổi này ô cơ sở Wigner – Seitz cũng không thay đổi vị trí, bởi vì theo cách xây dựng nó thì vị trí của ô này hoàn toàn được xác định bởi vị trí của mạng Bravais. Các điểm bên trong ô cơ sở Wigner – Seitz có tính chất: khoảng cách từ điểm đó đến tâm của ô cơ sở Wigner – Seitz nhỏ hơn khoảng cách từ điểm đó đến bất kỳ nút nào khác của mạng Bravais. Mỗi ô cơ sở Wigner – Seitz chỉ chứa một nút là tâm của ô này.

Để minh hoạ cách xây dựng ô Wigner – Seitz ta xét các mạng Bravais thuộc hệ lập phương. Trong mạng lập phương đơn các nút là đỉnh của các ô cơ sở có dạng hình lập phương. Mỗi nút có 6 nút lân cận nằm trên 6 cạnh của 8 hình lập phương có cùng một đỉnh chung là nút đã cho, nghĩa là nằm trên ba đường thẳng song song với các cạnh và đi qua nút này. Ô Wigner – Seitz là hình lập phương mà 6 mặt bên trực giao với ba đường thẳng đó và đinh qua trung điểm các đoạn thẳng nối nút đã cho với các nút lân cận (xem hình 3.42a).

Trong mạng lập phương tâm thể mọi nút đều có thể xem là tâm của hình lập phương mà 8 điểm cũng là 8 nút cuủamạng. Tâm này có tất cả 14 nút lân cận: 8 đỉnh của hình lập phương và 6 tâm của 6 hình lập phương có mặt bên chung với hình lập phương đã cho. Ô Wigner – Seitz là hình đa diện có 14 mặt là 8 hình lục giác và 6 hình vuông (xem hình 3.42b). Các hình vuông này nằm ngay trên 6 mặt bên của hình lập phương đã cho.

Trong mạng lập phương tâm diện mỗi nút đều có thể xem là đỉnh của một hình lập phương mà tất cả các đỉnh và tâm tất cả các mặt bên đều là các nút. Nút đã cho có 12 nút lân cận là tâm của 12

mặt bên của các hình lập phương mà nút đã cho là đỉnh chung. Nếu chọn nút này làm gốc toạ độ và các cạnh hình lập phương làm trục toà độ thì trên mỗi mặt toạ độ có 4 nút lân cận. Ô Wigner – Seitz laàmột hình đa diện có 12 mặt (xem hình 3.42c).

Dễ thử lại rằng cả ba ô Wigner – Seitz của các mạng lập phương đều bất biến đối với phép đối xứng bất kỳ của hình lập phương.