Định nghĩa tích của hai biểu diễn

Cho hai biểu diễn T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ của một nhóm hữu hạn G trong các không gian vectơ L₁ và L₂ với các hệ vectơ cơ sở $e_1^{(1)}$, $e_2^{(1)}$, …, $e_{\mathrm{d1}}^{(1)}$, và $e_1^{(2)}$, $e_2^{(2)}$, …, $e_{\mathrm{d2}}^{(2)}$, d₁ và d₂ là thứ nguyên của L₁ và L₂. Tích của hai biểu diễn T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ là biểu diễn T trong không gian L₁$\otimes$L₂ thứ nguyên d₁d₂ với hệ vectơ cơ sở.

mà toán tử T( $\alpha$) tương ứng với yếu tố $\alpha$ của nhóm G được xác định như sau

trong đó $T^{(1)}(a)$ và $T^{(2)}(a)$ là hai toán tử trong hai không gian L₁ và L₂ tương ứng với yếu tố a của nhóm G. Ta viết

T = T⁽¹⁾$\otimes$T⁽²⁾.

Để chứng minh rằng các toán tử T(a) tạo thành một biểu diễn của nhóm G, nghĩa là thỏa mãn điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm

T(a) T(b) = T(ab),

ta chỉ cần dùng định nghĩa (12) và tính chất bảo toàn phép nhân nhóm của các biểu diễn T⁽¹⁾ và T⁽²⁾, cụ thể là

T^($\alpha$)(a) T^($\alpha$)(b) = T^($\alpha$)(ab), $\alpha$ = 1, 2

Ký hiệu các yếu tố ma trận của toán tử T⁽¹⁾(a) và T⁽²⁾(a) trong các hệ vectơ cơ sở đã cho $e_1^{(1)}$, $e_2^{(1)}$, …, $e_{\mathrm{d1}}^{(1)}$ và $e_1^{(2)}$, $e_2^{(2)}$, …, $e_{\mathrm{d2}}^{(2)}$ là $T_{\text{ij}}^1$(a) và $T_{\text{kl}}^2$(a):

T^{(1)} (a) $e_i^{(1)}$= $e_j^{(1)}$$T_{(\text{ji})}^{(1)}$( $\alpha$)

T^{(1)}(a) $e_k^{(2)}$ = $e_l^{(2)}$$T_{(\text{lk})}^{(2)}$( $\alpha$)

Ta có

T(a)f₍ik₎ = T(a)( $e_i^{(1)}$$\otimes$$e_k^{(2)}$ ) = (T⁽¹⁾(a) $e_i^{(1)}$) $\otimes$(T⁽²⁾(a) $e_k^{(2)}$) = ( $e_j^{(1)}$$\otimes$$e_l^{(2)}$) $T_{(\text{ji})}^{(1)}$( $\alpha$) $T_{(\text{lk})}^{(2)}$( $\alpha$) =

f(jl)$T_{(\text{ji})}^{(1)}$( $\alpha$) $T_{(\text{lk})}^{(2)}$( $\alpha$)

So sánh hai biểu thức của T(a) f₍ji₎, ta thu được hệ thức diễn tả các yếu tố ma trận toán tử T(a) qua các yếu tố ma trân các nhóm toán tử T⁽¹⁾(a) và T⁽²⁾(a)

Cho hai biểu diễn (unita) tối giản T^($\alpha$) và T^($\beta$) của một nhóm G nào đó trên các không gian L^($\alpha$) và L^($\beta$) với thử nhiệm d^($\alpha$) và d^($\beta$). Tích

T = T^($\alpha$)$\otimes$T^($\beta$)

của hai biểu diễn này là một biểu diễn unita trên không gian

L = L^($\alpha$)$\otimes$L^($\beta$)

Nếu T không phải là tối giản thì nó hoàn toàn khả quy và có thể phân tách thành tổng trực giao của các biểu diễn tối giản T^($\gamma$) trên các không gian L^($\gamma$) thứ nguyên d^($\gamma$). Trong số các biểu diễn tối giản T này có thể có các biểu diễn tương đương với nhau. Không gian L thực hiện biểu diễn T là tổng trực giao của các không gian con L^($\gamma$) thực hiện các biểu diễn tối giản T^($\gamma$)

$L=\sum _{\gamma }^{}\oplus L^{(\gamma )}$.

Thứ nguyên của L là

$d=\sum _{\gamma }^{}d{}^{(\gamma )}$.

Mặt khác

d = d^($\alpha$)d^($\beta$)

Vậy ta có hệ thức

Ký hiệu các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gian L^($\alpha$), L^($\beta$), L^($\gamma$) , v.v… là

$e_{\mathrm{i\alpha }}^{(\alpha )}$, ia = 1, 2, …, d^($\alpha$)

$e_{\mathrm{i\beta }}^{(\beta )}$, ia = 1, 2, …, d^($\beta$)

$e_{\mathrm{i\gamma }}^{(\gamma )}$, ia = 1, 2, …, d^($\gamma$)

v.v… Trong không gian L các vectơ có dạng

$e_{\mathrm{i\alpha }}^{(\alpha )}$ $\otimes$ $e_{\mathrm{i\beta }}^{(\beta )}$

tạo thành một vectơ cơ sở trực giao chuẩn hóa Tập hợp tất cả các vectơ $e_{\mathrm{i\gamma }}^{(\gamma )}$, iy = 1, 2, …, d^($\gamma$), với mọi chỉ số ^$\gamma$ có mặt trong vế phải công thức (14) cũng là một hệ các vectơ cở sở trực giao chuẩn hóa khác trong không gian L. Giữa các vectơ đơn vị của hai hệ này ta có các phép biến đổi unita sau đây

Các hệ số $C_{\mathrm{\alpha i}{}_{\alpha }{\mathrm{\beta i}}_{\beta }}^{{\mathrm{\gamma i}}_{\gamma }}$trong các phép biến đổi (15) và (16) gọi là các hệ số Clebsh-Gordan.

Bây giờ ta đưa vào khái niệm biểu diễn $\stackrel{\text{~}}{T}$ liên hợp với một biểu diễn T đã cho. Giả sử T(a) là các toán tử tuyến tính của biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L. Với mỗi yếu tố a của nhóm G ta hãy thiết lập toán tử sau đây

Với các yếu tố ma trận

Ta hãy thử lại bằng sự tương ứng giữa các yếu tố a của nhóm G và các toán tử $\stackrel{\text{~}}{T}$(a) bảo toàn phép nhân nhóm. Thực vậy, ta có

$\stackrel{\text{~}}{T}$(ab) = ${\left[T(\text{ab}{)}^{-1})\right]}^T$= ${\left[T(b^{-1})T(a^{-1})\right]}^T$= ${\left[T(a^{-1})\right]}^T$${\left[T(b^{-1})\right]}^T$= $\stackrel{\text{~}}{T}$(a) $\stackrel{\text{~}}{T}$(b).

Vậy toán tử $\stackrel{\text{~}}{T}$(a) cũng tạo thành một biểu thức biểu diễn của nhóm G. Ta có định nghĩa sau đây.

Định nghĩa biểu diễn liên hợp

Cho hai biểu diễn T và $\stackrel{\text{~}}{T}$ của cùng một nhóm G trong hai không gian vectơ L và $\stackrel{\text{~}}{L}$. Nếu trong hai không gian L và $\stackrel{\text{~}}{L}$ ta có thể chọn hai hệ vectơ cơ sở một cách thích hợp để các yếu tố ma trận Tij(a) và $\stackrel{\text{~}}{T}$ij(a) của các toán tử T(a) và $\stackrel{\text{~}}{T}$(a) của hai biến đổi này liên hệ với nhau bởi công thức

$\stackrel{\text{~}}{T}$ij(a) = T_ji(a^-1),

thì ta gọi T và $\stackrel{\text{~}}{T}$ là hai biểu diễn liên hợp với nhau.

Việc xét đồng thời hai biểu diễn liên hợp với nhau T và $\stackrel{\text{~}}{T}$ cho phép ta thiết lập được một đại lượng bất biến đối với phép biến đổi của nhóm G. Thực vậy, trong hai không gian L và $\stackrel{\text{~}}{L}$thực hiện hai biểu diễn liên hợp với nhau T và $\stackrel{\text{~}}{T}$ ta hãy chọn các hệ vectơ cơ sở e₁, e₂, …, edvà f₁, f₂, …., fd để co các yếu tố ma trận của các toán tử T(a) và $\stackrel{\text{~}}{T}$(a) thỏa mãn hệ thức (18). Trong không gian vectơ d² chiều L$\otimes$$\stackrel{\text{~}}{L}$ ta hãy xét vectơ sau đây.

Ký hiệu tích của hai biểu diễn T và $\stackrel{\text{~}}{T}$ và T$\otimes$$\stackrel{\text{~}}{T}$. Các hoán tử của biểu diễn này tác dụng lên các vectơ cơ sở của không gian tích L$\otimes$$\stackrel{\text{~}}{L}$ như sau

(T$\otimes$$\stackrel{\text{~}}{T}$) (a) (e_i$\otimes$f_j) = (T(a)e_i) $\otimes$ ( $\stackrel{\text{~}}{T}$(a)f_j) = (e_k$\otimes$f_l) T_ki­(a) $\stackrel{\text{~}}{T}$_lj(a)

Tác dụng của các hoán tử đó lên vectơ i xác định bởi công thức (19) và dùng hệ thức (18) giữa các yếu tố ma trận của các hoán tử T(a) và $\stackrel{\text{~}}{T}$(a), ta có

(T $\otimes$ $\stackrel{\text{~}}{T}$ ) (a) i = (T(a)e _m ) $\otimes$ ( $\stackrel{\text{~}}{T}$ (a)f _m ) = e _k $\otimes$ f _l T _km (a) $\stackrel{\text{~}}{T}$ _lm (a) = e _k $\otimes$ f _l T _km (a)T _ml (a-1) = e _k $\otimes$ f _l T _kl (e) = e _k $\otimes$ f _k = i

Vậy ta có định lý sau

Định lý. Vectơ

$i=\sum _{m=1}^d{e}_m\otimes f_m$

trong không gian L $\otimes$ $\stackrel{\text{~}}{L}$ thực hiện biểu diễn T $\otimes$ $\stackrel{\text{~}}{T}$ của nhóm G bất biến đối với mọi phép biến đổi (T $\otimes$ $\stackrel{\text{~}}{T}$ )(a) của biểu diễn tích T $\otimes$ $\stackrel{\text{~}}{T}$ . Do đó không gian con một chiều với vectơ đơn vị i thực hiện một biểu diễn tối gian một chiều chứa trong biểu diễn T $\otimes$ $\stackrel{\text{~}}{T}$ .

Hệ quả. Biểu diễn T $\otimes$$\stackrel{\text{~}}{T}$, là tích của một biểu diễn T và biểu diễn $\stackrel{\text{~}}{T}$ liên hợp với nó, bao giờ cũng chứa biểu diễn tối giản một chiều.

Biểu diễn tối giản một chiều được thiết lập trong khi chứng minh định lý vừa trình bày ở trên thường diễn tả các đại lượng vật lý biến đổi với các phép biến đổi nhóm đối xứng. Do đó trong các bài toán vật lý ta thường sử dụng khái niệm biểu diễn liên hợp.

Tích của hai biểu diễn của nhóm Lie. Cho hai biểu diễn T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ của nhóm Lie G trong hai không gian vectơ L₁ và L₂, T là tích của hai biểu diễn này. Các toán tử T( ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\text{.}\text{.}\text{.},{\alpha }_s$) của biểu diễn T có dạng

Ký hiệu các vi tử của các biểu diễn T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ là $X_j^1$ và $X_j^2$, j = 1, 2, …, s của biểu diễn T là Xj, j = 1, 2, …, s. Với các thông số ${\alpha }_j$vô cùng bé ta có

trong đó I ⁽¹⁾ và I ⁽²⁾ là các toán tử đơn vị trong các không gian L₁ và L₂. Thay các biểu thức (21) vào trong vế phải công thức (20) và chỉ giữ lại các số hạng cấp một theo các thông số ${\alpha }_j$, ta có

T( ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\text{.}\text{.}\text{.},{\alpha }_s$) = I - $i\sum _{j=1}^s\mathrm{\alpha j}\left[X_j^{(1)}\otimes I^{(2)}+I^{(1)}\otimes X_j^{(2)}\right]$,

trong đó

I = I ⁽¹⁾$\otimes$ I ⁽²⁾

là toán tử đơn vị trong không gian L = L⁽¹⁾$\otimes$L⁽²⁾. So sánh với định nghĩa của các vi tử X_j ,

ta suy ra

Để viết hệ thức này dưới dạng chứa tường minh các yếu tố ma trận trong hai không gian L₁ và L₂ ta hãy chọn hai hệ vectơ cơ sở $e_m^1$, m = 1, 2, …, d₁ và $e_p^2$, p = 1, 2, …, d₂, sau đó ta lấy các vectơ sau đây

e_(mp) = $e_m^{(1)}$$\otimes$$e_p^{(2)}$

trong không gian L = L₁$\otimes$L₂, m = 1, 2,…, d₁, p = 1, 2, …, d₂, làm hệ cơ sở của không gian này. Ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tử $X_j^{(1)}$, $X_j^{(2)}$và Xj đối với các hệ cơ sở tương ứng nói trên vectơ là ( $X_j^{(1)}$)mm’, ( $X_j^{(2)}$)pp’, và ( $X_j$)₍mp₎₍m’p’₎. Công thức (23) cho ta

Cuối cùng, ta xét hai biểu diễn liên hợp với nhau T và $\stackrel{\text{~}}{T}$ của một nhóm Lie G và ký hiệu các toán tử của hai biểu diễn này là T( ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\text{.}\text{.}\text{.},{\alpha }_s$) và $\stackrel{\text{~}}{T}$( ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\text{.}\text{.}\text{.},{\alpha }_s$), ký hiệu các vi tử tương ứng với các tham số thực độc lập ${\alpha }_j$là Xj và $\stackrel{\text{~}}{X_j}$. Chú ý rằng nếu a là một yếu tố của G với các tham số vô cùng bé ${\alpha }_j$ thì trong phép gần đúng cấp một yếu tố với các tham số - ${\alpha }_j$ sẽ là nghịch đảo a^-1 của a. Do đó ta có các công thức

T(a^-1) $$T( $-{\alpha }_1,-{\alpha }_2,\text{.}\text{.}\text{.},-{\alpha }_s$) $$I + $i\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{X}_j$

và do đó

Mặt khác

Theo định nghĩa các biểu diễn liên hợp với nhau ta phải có

$\stackrel{\text{~}}{T}$(a) = ${\left[T(a^{\text{-1}})\right]}^T$

Thay vào đây các biểu thức (26) và (27), ta thu được hệ thức liên hệ các vi tử X_j và ${\stackrel{\text{~}}{X}}_j$ của hai biểu diễn liên hợp với nhau:

Nếu biết các vi tử của một biểu diễn T nào đó, dùng hệ thức (28) ta thiết lập được ngay các vi tử của biểu diễn $\stackrel{\text{~}}{T}$ liên hợp với T.