Mệnh đề 1

Các biểu diễn tương đương có cùng một hàm đặc trưng.

Chứng minh. Giả sử có hai biểu diễn tương đương T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ của cùng một nhóm G trong hai không gian vectơ L₁ và L₂. Khi đó có một toán tử tuyến tính X chuyển các vectơ của không gian L₁ thành cac vectơ không gian L₂ sao cho

Ký hiệu ${\chi }^{(i)}$(a) là các hàm đặc trưng của hai biểu diễn đã cho

${\chi }^{(1)}$(a) = Tr $\left[T^{(1)}(a)\right]$,

${\chi }^{(2)}$(a) = Tr $\left[T^{(2)}(a)\right]$.

Tính vết của các ma trận của các toán tử trong hai vế của hệ thức (36) đối với các vectơ đơn vị cơ sở bất kỳ và dùng tính chất sau đây của vết của tích hai toán tử A và B.

Tr $\left[\text{AB}\right]$ = Tr $\left[\text{BA}\right]$,

ta thu được

${\chi }^{(2)}$(a) = Tr $\left[T^{(2)}(a)\right]$ = Tr $\left[X{T}^{(1)}(a)X^{-1}\right]$ = Tr $\left[X^{-1}X{T}^{(1)}(a)\right]$ = Tr $\left[T^{(1)}(a)\right.]$ = ${\chi }^{(1)}$(a)

Vậy hàm đặc trưng ${\chi }^{(1)}$(a) và ${\chi }^{(2)}$(a) của hai biểu diễn tương đương T⁽¹⁾ và T⁽²⁾ bằng nhau.

Cho một biểu diễn hoàn toàn khả quy T trong không L thứ nguyên d, là tổng trực giao của hai biểu diễn T⁽¹⁾ và T(²⁾ trong hai không gian con bất biến L₁ và L₂ thứ nguyên d₁ và d₂, d = d₁ + d₂. Ký hiệu các hàm đặc trưng của các biểu diễn T, T₍₁₎ và T₍₂₎ là ${\chi }^{(1)}$(a) và ${\chi }^{(2)}$(a). Các hàm đặc trưng này không phụ thuộc sự lựa chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gian vectơ L, L₁ và L₂. Để thuận tiện khi thiết lập giữa các hàm đặc trưng này hãy chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sở e₁, e₂, …, ed trong không gian L₁ và f₁, f₂, …, $f_{d_2}$trong không gian L₂ rồi chọn các vectơ e₁, e₂, …, ed, f₁, f₂, …, $f_{d_2}$làm hệ đơn vị cơ sở trong không gian L. Đối với hệ này ma trận của các phép biến đổi T(a) có dạng chéo theo ô như sau

Từ đây suy ra rằng

$\chi$(a) = Tr $\left[T(a)\right]$ = Tr $\left[T^{(1)}(a)\right]$ + $\left[T^{(2)}(a)\right]$ = ${\chi }^{(1)}$(a) + ${\chi }^{(2)}$(a)

Mở rộng lập luận ở trên cho trường hợp biểu diễn T là tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản không tương đương T^($\alpha$) với $\alpha$= 1, 2,…, mà biểu diễn tối giản T^($\alpha$) được chứa n_$\alpha$lần trong biểu diễn T, ta có mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 2

Nếu biểu diễn hoàn toàn khả quy T là tổng trực giao của các biểu diễn tối giản không tương đương T^($\alpha$) với $\alpha$= 1, 2, …, mà biểu diễn tối giản T^($\alpha$) được chứa n_$\alpha$lần trong biểu diễn T, thì hàm đặc trưng $\chi$^($\alpha$)(a) của các biểu diễn T(^$\alpha$) như sau:

$\chi$^($\alpha$) = $\sum _{\alpha }{n}_{\alpha }{\chi }^{(\alpha )}(a)$.

Hàm đặc trưng $\chi$^($\alpha$) của một biểu diễn T là một hàm trên nhóm. Xét giá trị của hàm này trên hai yếu tố liên hợp với nhau a và b a b ^-1, ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 3

Trên hai yếu tố liên hợp với nhau a và b a b ^-1, trong đó a và b là hai yếu tố tùy ý của nhóm G, hàm đặc trưng $\chi$^($\alpha$) của một biểu diễn T có cùng một giá trị, nghĩa là

$\chi$^($\alpha$) = $\chi$(b a b ^-1), $\forall a\in G,\forall b\in G$.

Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm đặc trưng ta có

$\chi$^($\alpha$) = Tr $\left[T(a)\right]$,

$\chi$(b a b^-1) = Tr $\left[T(ba{b}^{-1})\right]$ = Tr $\left[T(b)T(a)T(b^{-1})\right]$ = Tr $\left\{T(b)T(a)\left[T(b^{-1})\right]\right\}$ = Tr $\left\{\left[T(b^{-1})\right]T(b)T(a)\right\}$ = Tr $\left[T(a)\right]$ = $\chi$^($\alpha$)

Vậy mệnh đề đã được chứng minh.

Theo mệnh đề này trên tất cả các yếu tố của một lớp các yếu tố liên hợp hàm đặc trưng có cùng một giá trị. Vậy hàm đặc trưng cũng có thể xem là trên tập hợp các lớp K_$\alpha$ các yếu tố liên hợp.

$K_{\alpha }$= $\left\{ba{b}^{-1}\mid b\in G\right\}$

Ta viết

$\chi$^($\alpha$) = $\chi$^{(K${}_{\alpha }$)}.

Có một định lý thường dùng về hàm đặc trưng của các biểu diễn tối gian không tương đương của nhóm hữu hạn. Giả sử có nhóm hữu hạn G và ký hiệu $\chi$^($\alpha$)(a) là các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản không tương đương T(^$\alpha$). Ta hãy coi N giá trị $\chi$^($\alpha$)(a) là N thành phần của một vectơ trong không gian Euclide phức N chiều và định nghĩa tích vô hướng của hai hàm đặc trưng $\chi$^($\alpha$) và $\chi$^($\beta$) như là tích vô hướng của hai vectơ chia cho N

Hệ quả 1

Cho ${\chi }^{(\alpha )}$ (a) là các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản $T^{(\alpha )}$ của một nhóm hữu hạn G, T là một biểu diễn nào đó với hàm đặc trưng $\chi (a)$ . Biểu diễn T chứa biến diễn T ( $\alpha$ ) một số lần bằng

$n_{\alpha }$ = $\left({\chi }^{(\beta )},\chi \right)$.

Hãy xét tích vô hướng của hàm đặc trưng $\chi$của một biểu diễn tùy ý T với chính nó và gọi là đại lượng thu được là bình phương vô hướng của hàm đặc trưng. Từ Mệnh đề 2 và Định lý về tính trực giao chuẩn hóa của các hàm hàm đặc trưng suy ra rằng.

$\left(\chi ,\chi \right)$ = $\left(\sum _{\alpha }{n}_{{}^{\alpha }}{\chi }^{(\alpha )},\sum _{\beta }{n}_{{}^{\beta }}{\chi }^{(\beta )}\right)$ = $\sum _{\alpha }{n}_{\alpha }^2$.

Nếu T là một biểu diễn tối giản thì trong số các số nguyên n_$\alpha$chỉ có một số khác không và bằng 1. Khi đó

$\left(\chi ,\chi \right)$ = 1.

Còn nếu T là một biểu diễn khả quy thì ít nhất có hai số n_$\alpha$ lớn hơn hoặc bằng 1.

Hệ quả 2

Nếu một biểu diễn của nhóm hữu hạn G là tối giản thì bình phương vô hướng của hàm đặc trưng của nó bằng 1, còn nếu biểu diễn là khả quy thì bình phương vô hướng của nó lớn hơn 1.