Trong họ này có 15 nhóm điểm tinh thể học sau đây,
1) Nhóm C1 chỉ gồm có một yếu tố đơn vị E. Không có yếu tố đối xứng nào, Phàn tử hoặc ô cơ sở của tinh thể là bất đối xứng.
2) Nhóm Ci là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép nghịch đảo i. Chỉ có một yếu tố đối xứng là tâm nghịch đảo i.
3) Nhóm C1h = C1v là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép phản xạ gương
. Chỉ có một yếu tố đối xứng là mặt phẳng gương
. Vì không có trục quay nên ta không phân biệt được mặt phẳng gương là thẳng đứng hay nằm ngang.
4) Nhóm C2 là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép quay C2 góc
quanh một trục nào đó,
= C2,
= E. Có một yếu tố đối xứng là trục quay C2.
5) Nhóm C2h gồm hai yếu tố E, C2 của nhóm quay C2, phép phản xạ gương
qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của chúng. Tổ hợp của phép quay C2 quanh trục Oz.
với phép phản xạ gương
qua mặt phẳng gương xOy
chính là phép nghịch đảo i
không phụ thuộc vào thứ tự của chúng,
Vậy nhóm C2h là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C2,
, i với bảng nhân nhóm sau đây
Bảng nhân nhóm C2h
Các yếu tố đối xứng của nhóm C2h là: trục quay C2, mặt phẳng gương
và tâm nghịch đảo i là giao điểm của chúng. Nhóm C2 là nhóm con của nhóm C2h.
6) Nhóm C2v gồm các yếu tố E, C2 của nhóm quay C2, phép phản xạ gương
qua một mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là
và các tổ hợp của chúng. Ký hiệu mặt phẳng gương chứa trục quay và trục giao với mặt phẳng
và
. Nếu trục quay là Oz
C2 : (x, y, z)
(-x, -y, -z).
mặt phẳng gương
là mặt phẳng xOz
Thì mặt phẳng gương
là mặt phẳng yOz
Dễ thử lại rằng
Vậy nhóm C2vlà nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C2,
và
với bằng nhân nhóm sau đây
Bảng nhân nhóm Cv2
Có ba yếu tố đối xứng: trục quay C2 và hai mặt phẳng gương chứa trục quay
,
trực giao với nhau. Nhóm C2 là nhóm con của nhóm C2v.
7) Nhóm giao hoán C3 là nhóm vòng sinh ra bởi phép quay C3 một góc
quanh một trục nào đó. Yếu tố
là phép quay góc
quanh trục này, nó trùng với phép quay
góc
quanh trục đã cho. Ta có
=
,
= E
Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay C3.
8) Nhóm C3h là nhóm giao hoán gồm ba yếu tố E, C3,
=
của nhóm con C3, phép phản xạ gương
qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của chúng. Có hai yếu tố đối xứng là trục quay C3 và mặt phẳng gương
trực giao với nhau.
9) Nhóm C3v gồm ba yếu tố E, C3,
của nhóm con C3 và ba phép phản xạ gương
,
,
qua ba mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là
,
,
, mặt phẳng
thu được từ mặt phẳng
sau khi thực hiện phép quay
=
, tức là thu được từ mặt phẳng
sau khi thực hiện phép quay C3. Chú ý tằng vì các phép quay của mặt phẳng
,
,
thì phải có nốt hai mặt phẳng kia. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C3 và ba mặt phẳng gương chứa trục quay
,
,
chuyển chỗ cho nhau trong các phép quay của nhóm con C3. Chọn trục quay C3 làm trục Oz và mặt phẳng gương
làm mặt phẳng tọa độ xOz. Trên hình 3.3 ta vẽ ba giao tuyến Ox, Ox’, Ox’’ của mặt phẳng tọa độ xOy với ba mặt phẳng gương
,
,
. Các trục Ox’ và Ox’’ tạo với trục Ox các góc bằng
và
. Xét một điểm trên mặt phẳng xOy mà bán kính vectơ R của nó tạo với trục Ox một góc
(giá trị đại số tính theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ). Trong phép phản xạ gương qua mặt
bán kính vectơ R chuyển thành bán kính vectơ
tạo với trục Ox góc -
(xem hình 3.4)
Ta viết
Xét phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương
. Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’ góc
. Trong phép phản xạ gương
nó chuyển thành bán kính vectơ
tạo với trục Ox’ góc
(xem hình 3.5). Do đó ta có
:
-(
) =
nghĩa là
Chú ý rằng ta có thể thêm vào góc
hoặc bớt đi từ góc này một đại lượng là bội số của
, do đó -
+
và -
là cùng một góc. Với phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương
(xem hình 3.6) ta có kết quả sau đây: Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’’ góc
-
tức là
. Phép phản xạ gương
chuyển nó thành bán kính vectơ
tạo với góc Ox’’ góc -(
) . Ta có
:
-(
) = -
nghĩa là
Còn trong các phép quay C3 và
=
góc
thay đổi như sau
Chú ý rằng các phép phản xạ gương và phép quay C3 có tính chất
=
=
=
= E
Dùng tính chất này và các công thức (22a), (22b), (22c), (23a), (23b), ta suy ra các hệ thức sau đây:
Do đó ta có ngay
Từ các hệ thức này ta lại thu được các hệ thức mới
Vậy với nhóm C3v ta có bảng nhân nhóm sau đây
Bảng nhân nhóm C 3v
Cuối cùng ta xét từng yếu tố và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố đã cho. Ta nhắc lại rằng nếu a là một yếu tố nào đó của một nhóm G thì tất cả các yếu tố gag -1 với mọi yếu tố g của G tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a. Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag -1 đều trùng với E. Vậy chính yếu tố đơn vị E là một lớp. Ta hãy lấy a là C3. Các yếu tố liên hợp với nó là
=
,
(
)
-1
,
=
=
,
=
=
,
=
=
Vậy hai yếu tố
vàtạo thành một lớp yếu tố liên hợp. Còn nếu ta lấy a là
thì các yếu tố liên hợp với nó là
=
=
(
)
-1
=
C
3
=
=
,
=
=
=
Vậy ba phép phản xa gương
,
,
tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Tóm lại, nhóm
chia thành ba lớp các yếu tố liên hợp sau đây
=
,
=
,
=
.
10) Nhóm giao hoán
là nhóm vòng sinh bởi phép quay
một góc bằng
quanh một trục nào đó. Nhóm này gồm bố yếu tố khác nhau là
,
=
,
=
và
=E. Chỉ có mọt yếu tố đối xứng là trục quay
.
11) Nhóm
là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C4, C2,
của nhóm con C4, phép phản xạ gương
qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay cũng gọi là mặt phẳng gương
và các tổ hợp của chúng. Trong các tổ hợp này có tích
C2 = C2. Theo công thức (19) đó là phép nghịch đảo i đối với giao điểm của trục quay C4 và mặt phẳng gương
. Vậy ngoài trục quay C4 và mặt phẳng gương
là hai yếu tố đối xứng cho từ trước lại còn có một yếu tố đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảo i.
12) Nhóm
gồm các yếu tố E, C4, C2,
của nhóm con C4 và các phép phản xạ gương
,
,
,
qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là
,
,
,
trong đó
trực giao với
và thu được từ
sau khi thực hiện phép quay C4,
và
là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vuông giữa các mặt phẳng
và
. Nhóm C4v là một nhóm các phép đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy vuông. Trên hình 3.7 ta vẽ mặt đáy của hình trục đó và các giao tuyến của cac mặt phẳng gương
,
,
,
với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục Oz trùng với trục quay C4, mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọn
đi qua trục Ox và
đi qua trục Oy. Với những lý luận giống như khi nghiên cứu về nhóm C3v ta có thể thiết lập được bảng nhân nhóm sau đây.
Bảng nhân nhóm
Các yếu tố đối xứng là: trục quay C4 và bốn mặt phẳng gương chứa trục quay
,
,
,
nói ở trên. Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta có thể nghiệm lại rằng nhóm C4v chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp
=
,
=
,
=
,
=
,
=
.
13) Nhóm giao hoán
là nhóm vòng sinh bởi phép quay
một góc bằng
quanh một trục nào đó và gồm sáu yếu tố sau đây: E,
,
=
,
=
,
=
,
=
. Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay
.
14) Nhóm
là nhóm giao hoán gồm sáu yếu tố E,
,
,
,
,
của nhóm con
, phép phản xạ gương
qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay cũng gọi là mặt phẳng gương
, và các tổ hợp của chúng. Vì trong số các yếu tố
có cả phép quay
lẫn phép phản xạ gương
qua một mặt phẳng trực giao với trục quay
, cho nên theo công thức (19) nhóm
còn chứa phép nghịch đảo i đối với tâm nghịch đảo là giao điểm của trục
và mặt phẳng gương
. Vậy ngoài hai yếu tố đối xứng đã cho từ trước là trục quay
và mặt phẳng gương
trực giao với nhau còn có một yếu tố đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của chúng.

15) Nhóm
là một nhóm đối xứng của hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình lục giác đều, gồm sáu yếu tố của nhóm con
và sáu phép phản xạ gương qua sáu mặt phẳng gương chứa trục quay. Trên hình 3.8 ta vẽ hình lục giác đều là đáy của hình trụ và các giao tuyến của các mặt phẳng gương nói trên với mặt phẳng đáy.