Trong toán học, số hữu tỉ là các số thực x có thể biểu diễn dưới dạng phân số (thương) a/b, trong đó a và b là các số nguyên, với b khác không.
Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.
Các số thực không phải là số hữu tỷ được gọi là các số vô tỷ.
Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số p/q,vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân số 1/3,2/6,3/9 ... cùng biểu diễn một số hữu tỷ.
Biểu-diễn số-hữu-tỷ
Biểu-diễn trong hệ thập-phân và các hệ-cơ-số khác
Khi biểu diễn số hữu tỷ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ:
Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt qua giá trị tuyệt đối của b.
Một cách tổng-quát, trong một hệ-cơ-số bất-kỳ, các chữ-số sau dấu-phẩy của số-hữu-tỷ là hữu-hạn hoặc vô-hạn tuần-hoàn.
Biểu-diễn bằng liên-phân-số
Một số-thực là số-hữu-tỷ khi và chỉ-khi biểu-diễn liên phân số của nó là hữu-hạn.
Số hữu tỷ trong quan hệ với các tập hợp số khác
N: Tập hợp số tự nhiên
Z: Tập hợp số nguyên
Q: Tập hợp số hữu tỉ
R: Tập hợp số thực
I = R \ Q: Tập hợp số vô tỉ
Ta có N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Xây dựng tập các số hữu tỷ từ tập số nguyên
Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỷ như trường các thương của Z.
Xét tập tích Decaters:
Trên đó xác định một quan hệ tương đương:
lớp tương đương của cặp (a, b) được ký hiệu là a/p và gọi là thương của a cho b.
Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là Q. Trên tập Z X Z* định nghĩa các phép toán:
Khi đó nếu (a, b ) ~ (a', b') và (c, d) ~ (c', d')
thì \left(a, b )+(c, d) ~ (a', b')+(c', d') ;
và (a, b) x (c, d) ~ (a', b') x (c', d') .
Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghia là tập Q.
Để xem Z là bộ phận của \mathbb Q ta nhúng Z vào Q nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong Q.
Xem thêm
* Số nguyên tố
* Số nguyên
* Số tự nhiên
* Số vô tỉ
* Số đại số
* Số siêu việt
* Số thực
* Số phức
* Số siêu phức
