Ðịnh trị cây biểu thức số học
Trong các ngôn ngữ lập trình đều có các biểu thức số học, việc dịch các biểu thức này đòi hỏi phải đánh giá (định trị) chúng. Ðể làm được điều đó cần phải có một biểu diễn trung gian cho biểu thức. Một trong các biểu diễn trung gian cho biểu thức là cây biểu thức.
Cây biểu thức số học là một cây nhị phân, trong đó các nút lá biểu diễn cho các toán hạng, các nút trong biểu diễn cho các toán tử.
Ví dụ 3-3: Biểu thức 5 + 2 * 3 - 4 sẽ được biểu diễn bởi cây trong hình 3-8
Trị của một nút lá chính là trị của toán hạng mà nút đó biểu diễn. Trị của một nút trong có được bằng cách lấy toán tử mà nút đó biểu diễn áp dụng vào các con của nó.
Trị của nút gốc chính là trị của biểu thức.
Như vậy để định trị cho nút gốc, chúng ta phải định trị cho hai con của nó, đối với mỗi con ta xem nó có phải là nút lá hay không, nếu không phải ta lại phải xét hai con của nút đó. Quá trình cứ tiếp tục như vậy cho tới khi gặp các nút lá mà giá trị của chúng đã được biết, quay lui để định trị cho các nút cha của các nút lá và cứ như thế mà định trị cho tổ tiên của chúng. Ðó chính là kĩ thuật quay lui vét cạn, vì chúng ta phải lần đến tất cả các nút lá mới định trị được cho các nút trong và do thế mới định trị được cho nút gốc.
Ví dụ 3-4: Với cây biểu thức trong ví dụ 3-3. Ðể định trị cho nút - chúng ta phải định trị cho nút + và nút 4. Nút 4 là nút lá nên giá trị của nó là 4. Ðể định trị cho nút + ta phải định trị cho nút 5 và nút *. Nút 5 là nút lá nên giá trị của nó là 5. Ðể định trị cho nút *, ta phải định trị cho nút 2 và nút 3. Cả hai nút này đều là lá nên giá trị của chúng tương ứng là 2 và 3. Quay lui lại nút *, lấy toán tử * áp dụng cho hai con của nó là 2 và 3 ta được trị của nút * là 6. Quay lui về nút +, lại áp dụng toán tử + vào hai con của nó là 5 và 6 được trị của nút + là 11. Cuối cùng quay về nút -, áp dụng toán tử - vào hai con của nó là 11 và 4 ta được trị của nút - (nút gốc) là 7. Ðó chính là trị của biểu thức. Trong hình 3-9î, mũi tên nét đứt minh họa quá trình đi tìm nút lá và mũi tên nét liền minh họa quá trình quay lui để định trị cho các nút, các số bên phải mỗi nút là trị của nút đó.
Giải thuật sơ bộ để định trị một nút bất kỳ như sau:
FUNCTION Eval(n : node): real;
BEGIN
IF n là lá THEN RETURN (trị của toán hạng trong n)
ELSE RETURN (Toán tử trong n (Eval (Con trái của n), Eval (Con phải của n)) );
END;
Muốn định trị cho cây biểu thức T, ta gọi Eval(ROOT(T)).
Kĩ thuật cắt tỉa Alpha-Beta
Cây trò chơi
Xét một trò chơi trong đó hai người thay phiên nhau đi nước của mình như cờ vua, cờ tướng, carô... Trò chơi có một trạng thái bắt đầu và mỗi nước đi sẽ biến đổi trạng thái hiện hành thành một trạng thái mới. Trò chơi sẽ kết thúc theo một quy định nào đó, theo đó thì cuộc chơi sẽ dẫn đến một trạng thái phản ánh có một người thắng cuộc hoặc một trạng thái mà cả hai đấu thủ không thể phát triển được nước đi của mình, ta gọi nó là trạng thái hòa cờ. Ta tìm cách phân tích xem từ một trạng thái nào đó sẽ dẫn đến đấu thủ nào sẽ thắng với điều kiện cả hai đấu thủ đều có trình độ như nhau.
Một trò chơi như vậy có thể được biểu diễn bởi một cây, gọi là cây trò chơi. Mỗi một nút của cây biểu diễn cho một trạng thái. Nút gốc biểu diễn cho trạng thái bắt đầu của cuộc chơi. Mỗi nút lá biểu diễn cho một trạng thái kết thúc của trò chơi (trạng thái thắng thua hoặc hòa). Nếu trạng thái x được biểu diễn bởi nút n thì các con của n biểu diễn cho tất cả các trạng thái kết quả của các nước đi có thể xuất phát từ trạng thái x.
Ví dụ 3-5: Xét trò chơi carô có 9 ô. Hai người thay phiên nhau đi X hoặc O. Người nào đi được 3 ô thẳng hàng (ngang, dọc, chéo) thì thắng cuộc. Nếu đã hết ô đi mà chưa phân thắng bại thì hai đấu thủ hòa nhau. Một phần của trò chơi này được biểu diễn bởi cây sau:
Trong cây trò chơi trên, các nút lá được tô nền và viền khung đôi để dễ phân biệt với các nút khác. Ta gắn cho mỗi nút một chữ cái (A, B, C…) để tiện trong việc trình bày các giải thuật.
Ta có thể gán cho mỗi nút lá một giá trị để phản ánh trạng thái thắng thua hay hòa của các đấu thủ. Chẳng hạn ta gán cho nút lá các giá trị như sau:
- 1 nếu tại đó người đi X đã thắng,
- -1 nếu tại đó người đi X đã thua và
- 0 nếu hai đấu thủ đã hòa nhau.
Như vậy từ một trạng thái bất kỳ, đến lượt mình, người đi X sẽ chọn cho mình một nước đi sao cho dẫn đến trạng thái có giá trị lớn nhất (trong trường hợp này là 1). Ta nói X chọn nước đi MAX, nút mà từ đó X chọn nước đi của mình được gọi là nút MAX. Người đi O đến lượt mình sẽ chọn một nước đi sao cho dẫn đến trạng thái có giá trị nhỏ nhất (trong trường hợp này là -1, khi đó X sẽ thua và do đó O sẽ thắng). Ta nói O chọn nước đi MIN, nút mà từ đó O chọn nước đi của mình được gọi là nút MIN. Do hai đấu thủ luân phiên nhau đi nước của mình nên các mức trên cây trò chơi cũng luân phiên nhau là MAX và MIN. Cây trò chơi vì thế còn có tên là cây MIN-MAX. Ta có thể đưa ra một quy tắc định trị cho các nút trên cây để phản ánh tình trạng thắng thua hay hòa và khả năng thắng cuộc của hai đấu thủ.
Nếu một nút là nút lá thì trị của nó là giá trị đã được gán cho nút đó. Ngược lại, nếu nút là nút MAX thì trị của nó bằng giá trị lớn nhất của tất cả các trị của các con của nó. Nếu nút là nút MIN thì trị của nó là giá trị nhỏ nhất của tất cả các trị của các con của nó.
Quy tắc định trị này cũng gần giống với quy tắc định trị cho cây biểu thức số học, điểm khác biệt ở đây là các toán tử là các hàm lấy max hoặc min và mỗi nút có thể có nhiều con. Do vậy ta có thể dùng kĩ thuật quay lui để định trị cho các nút của cây trò chơi.
Ví dụ 3-6: Vận dụng quy tắc quay lui vét cạn để định trị cho nút A trong cây trò chơi trong ví dụ 3-5.
Trước hết ta gán trị cho các nút lá, theo qui định trên thì nút lá B được gán giá trị 1, vì tại đó người đánh X đã thắng. Nút F được gán giá trị -1 vì tại đó người đánh X đã thua (người đánh O đã thắng). Nút I được gán giá trị 0 vì tại đó hai người hòa nhau. Tương tự nút J được gán giá trị 0 và nút K được gán giá trị 1.
Vì người đánh X được gán giá trị 1 tại nút lá mà anh ta đã thắng (giá trị lớn nhất) nên ta nói X chọn nước đi MAX, ngược lại người đánh O sẽ chọn nước đi MIN.
Để định trị cho nút A, ta thấy A là nút MAX và không phải là nút lá nên ta gán giá trị tạm là -∞, xét B là con của A, B là nút lá nên giá trị của nó là giá trị đã được gán 1, giá trị tạm của A bây giờ là max(-∞,1) = 1. Xét con C của A, C là nút MIN, giá trị tạm lúc đầu của C là ∞. Xét con E của C, E là nút MAX, giá trị tạm của E là -∞. Xét con I của E, I là nút lá nên giá trị của nó là 0. Quay lui lại E, giá trị tạm của E bây giờ là max(-∞,0) = 0. Vì E chỉ có một con là I đã xét nên giá trị tạm 0 trở thành giá trị của E. Quay lui lại C, giá trị tạm mới của C là min(∞,0) = 0. Lại xét con F của C, vì F là nút lá, nên giá trị của F đã được gán là –1. Quay lui lại C, giá trị tạm mới của C là min(0,-1) = -1. Nút C có hai con là E và F, cả hai con này đều đã được xét, vậy giá trị tạm -1 của C trở thành giá trị của nó. Sau khi có giá trị của C, ta phải quay lại A và đặt lại giá trị tạm của A là max(1,-1) = 1. Tiếp tục xét nút D, D là nút MIN nên giá trị tạm là ∞, xét nút con G của D, G là nút MAX nên giá trị tạm của nó là -∞, xét nút con J của G. Vì J là nút lá nên có giá trị 0. Quay lui lại G, giá trị tạm của G bây giờ là max(-∞,0) = 0 và giá trị tạm này trở thành giá trị của G vì G chỉ có một con J đã xét. Quay lui về D, giá trị tạm của D bây giờ là min(∞,0) = 0. Lại xét con H của D, H là nút MAX nên gán giá trị tạm ban đầu là -∞. Xét con K của H, nút K là nút lá nên giá trị của K đã được gán là 1. Quay lui về H và đặt lại giá trị tạm của H là max(-∞,1) = 1. Giá trị tạm này chính là giá trị của H vì H chỉ có một con K đã được xét. Quay lui về D và đặt lại giá trị tạm của D là min(0, 1) = 0. Cả hai con G và H của D đều đã được xét nên giá trị tạm 0 của D trở thành giá trị của nó. Quay lui về A, giá trị tạm của nó là max(1,0) = 1vẫn không thay đổi, nhưng lúc này cả 3 con của A đều đã được xét nên giá trị tạm 1 trở thành giá trị của A. Kết quả được minh họa trong hình sau:
Hình 3-9: Ðịnh trị cây trò chơi bằng kĩ thuật quay lui vét cạn
Trong hình trên, các nút lá có giá trị được gán ghi phía dưới mỗi nút. Đối với các nút trong, bên trái ghi các giá trị tạm theo thứ tự trên xuống, các giá trị thực được ghi bên phải hoặc phía trên bên phải.
Giải thuật vét cạn định trị cây trò chơi
Ðể cài đặt ta có một số giả thiết sau:
- Ta có một hàm Payoff nhận vào một nút lá và cho ta giá trị của nút lá đó.
- Các hằng ∞ và -∞ tương ứng là các trị Payoff lớn nhất và nhỏ nhất.
- Khai báo kiểu ModeType = (MIN, MAX) để xác định định trị cho nút là MIN hay MAX.
- Một kiểu NodeType được khai báo một cách thích hợp để biểu diễn cho một nút trên cây phản ánh một trạng thái của cuộc chơi.
- Ta có một hàm is_leaf để xác định xem một nút có phải là nút lá hay không?
- Hàm max và min tương ứng lấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hai giá trị.
Hàm Search nhận vào một nút n và kiểu mode của nút đó (MIN hay MAX) trả về giá trị của nút.
Nếu nút n là nút lá thì trả về giá trị đã được gán cho nút lá. Ngược lại ta cho n một giá trị tạm value là -∞ hoặc ∞ tùy thuộc n là nút MAX hay MIN và xét con của n. Sau khi một con của n có giá trị V thì đặt lại value = max(value,V) nếu n là nút MAX và value = min(value,V) nếu n là nút MIN. Khi tất cả các con của n đã được xét thì giá trị tạm value của n trở thành giá trị của nó.
FUNCTION Search(n : NodeType; mode: ModeType): real;
VAR C : NodeType ; { C là một nút con của nút n}
Value : real;
{Lúc đầu ta cho value một giá trị tạm, sau khi đã xét hết tất cả các con của nút n thì value là giá trị của nút n }
BEGIN
IF is_leaf(n) THEN RETURN ( Payoff(n) )
ELSE BEGIN
{Khởi tạo giá trị tạm cho n }
IF mode = MAX THEN value := -∞ ELSE value := ∞;
{Xét tất cả các con của n, mỗi lần xác định được giá trị của một nút con, ta phải đặt lại giá trị tạm value. Khi đã xét hết tất cả các con thì value là giá trị của n}
FOR với mỗi con C của n DO
IF mode = MAX THEN
Value := max(Value, Search(C, MIN) )
ELSE Value := min(Value, Search(C, MAX) );
RETURN (value);
END;
END;
Kĩ thuật cắt tỉa Alpha-Beta (Alpha-Beta Pruning)
Trong giải thuật vét cạn ở trên, ta thấy để định trị cho một nút nào đó, ta phải định trị cho tất cả các nút con cháu của nó, và muốn định trị cho nút gốc ta phải định trị cho tất cả các nút trên cây. Số lượng các nút trên cây trò chơi tuy hữu hạn nhưng không phải là ít. Chẳng hạn trong cây trò chơi ca rô nói trên, nếu ta có bàn cờ bao gồm n ô thì có thể có tới n! nút trên cây (trong trường hợp trên là 9!). Ðối với các loại cờ khác như cờ vua chẳng hạn, thì số lượng các nút còn lớn hơn nhiều. Ta gọi là một sự bùng nổ tổ hợp các nút.
Chúng ta cố gắng tìm một cách sao cho khi định trị một nút thì không nhất thiết phải định trị cho tất cả các nút con cháu của nó. Trước hết ta có nhận xét như sau:
Nếu P là một nút MAX và ta đang xét một nút con Q của nó (dĩ nhiên Q là nút MIN). Giả sử Vp là một giá trị tạm của P, Vq là một giá trị tạm của Q và nếu ta có Vp ≥ Vq thì ta không cần xét các con chưa xét của Q nữa. Vì nếu có xét thì giá trị của Q cũng sẽ nhỏ hơn hoặc bằng Vq và do đó không ảnh hưởng gì đến Vp. Tương tự nếu P là nút MIN (tất nhiên Q là nút MAX) và Vp ≤ Vq thì ta cũng không cần xét đến các con chưa xét của Q nữa. Việc không xét tiếp các con chưa được xét của nút Q gọi là việc cắt tỉa Alpha-Beta các con của nút Q.
Trên cơ sở nhận xét đó, ta nêu ra quy tắc định trị cho một nút không phải là nút lá trên cây như sau:
- Khởi đầu nút MAX có giá trị tạm là -∞ và nút MIN có giá trị tạm là ∞.
- Nếu tất cả các nút con của một nút đã được xét hoặc bị cắt tỉa thì giá trị tạm của nút đó trở thành giá trị của nó.
- Nếu một nút MAX n có giá trị tạm là V1 và một nút con của nó có giá trị là V2 thì đặt giá trị tạm mới của n là max(V1,V2). Nếu n là nút MIN thì đặt giá trị tạm mới của n là min(V1,V2).
- Vận dụng quy tắc cắt tỉa Alpha-Beta nói trên để hạn chế số lượng nút phải xét.
Ví dụ 3-7: Vận dụng quy tắc trên để định trị cho nút A của cây trò chơi trong ví dụ 3-5.
A là nút MAX, vì A không phải là nút lá nên ta gán giá trị tạm là -∞, xét B là con của A, B là nút lá nên giá trị của nó là giá trị đã được gán 1, giá trị tạm của A bây giờ là max(-∞,1) = 1. Xét con C của A, C là nút MIN, giá trị tạm lúc đầu của C là ∞. Xét con E của C, E là nút MAX, giá trị tạm của E là -∞. Xét con I của E, I là nút lá nên giá trị của nó là 0. Quay lui lại E, giá trị tạm của E bây giờ là max(-∞,0) = 0. Vì E chỉ có một con là I đã xét nên giá trị tạm 0 trở thành giá trị của E. Quay lui lại C, giá trị tạm mới của C là min(∞,0) = 0. A là nút MAX có giá trị tạm là 1, C là con của A, có giá trị tạm là 0, 1>0 nên ta không cần xét con F của C nữa. Nút C có hai con là E và F, trong đó E đã được xét, F đã bị cắt, vậy giá trị tạm 0 của C trở thành giá trị của nó. Sau khi có giá trị của C, ta phải đặt lại giá trị tạm của A, nhưng giá trị tạm này không thay đổi vì max(1,0) = 1. Tiếp tục xét nút D, D là nút MIN nên giá trị tạm là ∞, xét nút con G của D, G là nút MAX nên giá trị tạm của nó là -∞, xét nút con J của G. Vì J là nút lá nên có giá trị 0. Quay lui lại G, giá trị tạm của G bây giờ là max(-∞,0) = 0 và giá trị tạm này trở thành giá trị của G vì G chỉ có một con J đã xét. Quay lui về D, giá trị tạm của D bây giờ là min(∞,0) = 0. Giá trị tạm này của D nhỏ hơn giá trị tạm của nút A MAX là cha của nó nên ta cắt tỉa con H chưa được xét của D và lúc này D có giá trị là 0. Quay lui về A, giá trị tạm của nó vẫn không thay đổi, nhưng lúc này cả 3 con của A đều đã được xét nên giá trị tạm 1 trở thành giá trị của A. Kết quả được minh họa trong hình sau:
Hình 3-10: Ðịnh trị cây trò chơi bằng kĩ thuật cắt tỉa alpha-beta
Hàm cat_tia sau trình bày giải thuật thô để định trị một nút, áp dụng kĩ thuật cắt tỉa alpha-beta
FUNCTION cat_tia(Q:NodeType; mode:ModeType; Vp: real): real;
var C : NodeType ; { C là một nút con của nút Q}
Vq : real;
{Vq là giá trị tạm của Q, sau khi tất cả các con của nút Q đã xét hoặc bị cắt tỉa thì Vq là giá trị của nút Q}
BEGIN
IF is_leaf(Q) THEN RETURN ( Payoff(Q) )
ELSE BEGIN
{ Khởi tạo giá trị tạm cho Q }
IF mode = MAX THEN Vq := -∞ ELSE Vq := ∞;
{Xét các con của Q, mỗi lần xác định được giá trị của một nút con của Q, ta phải đặt lại giá trị tạm Vq và so sánh với Vp để có thể cắt tỉa hay không}
Xét C là con trái nhất của Q;
WHILE C là con của Q DO
IF mode = MAX THEN BEGIN
Vq:= max(Vq, Cat_tia(C, MIN, Vq));
IF Vp<=Vq THEN RETURN(Vq);
END
ELSE BEGIN
Vq := min(Vq, Cat_tia(C, MAX, Vq));
IF Vp >= Vq THEN RETURN(Vq);
END;
RETURN (Vq);
END;
END;
Kĩ thuật nhánh cận
Với các bài toán tìm phương án tối ưu, nếu chúng ta xét hết tất cả các phương án thì mất rất nhiều thời gian, nhưng nếu sử dụng phương pháp tham ăn thì phương án tìm được chưa hẳn đã là phương án tối ưu. Nhánh cận là kĩ thuật xây dựng cây tìm kiếm phương án tối ưu, nhưng không xây dựng toàn bộ cây mà sử dụng giá trị cận để hạn chế bớt các nhánh.
Cây tìm kiếm phương án có nút gốc biểu diễn cho tập tất cả các phương án có thể có, mỗi nút lá biểu diễn cho một phương án nào đó. Nút n có các nút con tương ứng với các khả năng có thể lựa chọn tập phương án xuất phát từ n. Kĩ thuật này gọi là phân nhánh.
Vói mỗi nút trên cây ta sẽ xác định một giá trị cận. Giá trị cận là một giá trị gần với giá của các phương án. Với bài toán tìm min ta sẽ xác định cận dưới còn với bài toán tìm max ta sẽ xác định cận trên. Cận dưới là giá trị nhỏ hơn hoặc bằng giá của phương án, ngược lại cận trên là giá trị lớn hơn hoặc bằng giá của phương án.
Ðể dễ hình dung ta sẽ xét hai bài toán quen thuộc là bài toán TSP và bài toán cái ba lô.
Bài toán đường đi của người giao hàng
Phân nhánh
Cây tìm kiếm phương án là cây nhị phân trong đó:
- Nút gốc là nút biểu diễn cho cấu hình bao gồm tất cả các phương án.
- Mỗi nút sẽ có hai con, con trái biểu diễn cho cấu hình bao gồm tất cả các phương án chứa một cạnh nào đó, con phải biểu diễn cho cấu hình bao gồm tất cả các phương án không chứa cạnh đó (các cạnh để xét phân nhánh được thành lập tuân theo một thứ tự nào đó, chẳng hạn thứ tự từ điển).
- Mỗi nút sẽ kế thừa các thuộc tính của tổ tiên của nó và có thêm một thuộc tính mới (chứa hay không chứa một cạnh nào đó).
- Nút lá biểu diễn cho một cấu hình chỉ bao gồm một phương án.
- Ðể quá trình phân nhánh mau chóng tới nút lá, tại mỗi nút ta cần có một quyết định bổ sung dựa trên nguyên tắc là mọi đỉnh trong chu trình đều có cấp 2 và không tạo ra một chu trình thiếu.
Ví dụ 3-7: Xét bài toán TSP có 5 đỉnh với độ dài các cạnh được cho trong hình 3-11.
Các cạnh theo thứ tự từ điển để xét là:
ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce và de.
Nút gốc A của cây bao gồm tất cả các phương án.
Hai con của A là B và C, trong đó B bao gồm tất cả các phương án chứa cạnh ab, C bao gồm tất cả các phương án không chứa ab, kí hiệu là
***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
Hai con của B là D và E. Nút D bao gồm tất cả các phương án chứa ac. Vì các phương án này vừa chứa ab (kế thừa của B) vừa chứa ac nên đỉnh a đã đủ cấp hai nên D không thể chứa ad và ae. Nút E bao gồm tất cả các phương án không chứa ac…
Ta được cây (chưa đầy đủ) trong hình 3-12.
Tính cận dưới
Ðây là bài toán tìm min nên ta sử dụng cận dưới. Cận dưới tại mỗi nút là một số nhỏ hơn hoặc bằng giá của tất cả các phương án được biểu diễn bởi nút đó. Giá của một phương án ở đây là tổng độ dài của một chu trình.
Ðể tính cận dưới của nút gốc, mỗi đỉnh ta chọn hai cạnh có độ dài nhỏ nhất. Cận dưới của nút gốc bằng tổng độ dài tất cả các cạnh được chọn chia cho 2.
Ví dụ 3-8: Với số liệu cho trong ví dụ 3-7 nói trên, ta tính cận dưới của nút gốc A (hình 3-12) như sau:
- Ðỉnh a chọn ad = 2, ab = 3
- Ðỉnh b chọn ba = 3, be = 3
- Ðỉnh c chọn ca = 4, cb = 4
- Ðỉnh d chọn da = 2, dc = 5
- Ðỉnh e chọn eb = 3, ed = 6
Tổng độ dài các cạnh được chọn là 35, cận dưới của nút gốc A là 35/2 = 17.5
Ðối với các nút khác, chúng ta phải lựa chọn hai cạnh có độ dài nhỏ nhất thỏa điều kiện ràng buộc (phải chứa cạnh này, không chứa cạnh kia).
Ví dụ 3-9: Tính cận dưới cho nút D trong hình 3-13. Ðiều kiện ràng buộc là phải chứa ab, ac và không chứa ad, ae.
- Ðỉnh a chọn ab = 3, ac = 4, do hai cạnh này buộc phải chọn.
- Ðỉnh b chọn ba = 3, be = 3
- Ðỉnh c chọn ca = 4, cb = 4
- Ðỉnh d chọn de = 6, dc = 5, do không được chọn da nên ta phải chọn de.
- Ðỉnh e chọn eb = 3, ed = 6
Tổng độ dài các cạnh được chọn là 41, cận dưới của nút D là 41/2 = 20.5
Kĩ thuật nhánh cận
Bây giờ ta sẽ kết hợp hai kĩ thuật trên để xây dựng cây tìm kiếm phương án. Quy tắc như sau:
- Xây dựng nút gốc, bao gồm tất cả các phương án, tính cận dưới cho nút gốc.
- Sau khi phân nhánh cho mỗi nút, ta tính cận dưới cho cả hai con.
- Nếu cận dưới của một nút con lớn hơn hoặc bằng giá nhỏ nhất tạm thời của một phương án đã được tìm thấy thì ta không cần xây dựng các cây con cho nút này nữa (Ta gọi là cắt tỉa các cây con của nút đó).
- Nếu cả hai con đều có cận dưới nhỏ hơn giá nhỏ nhất tạm thời của một phương án đã được tìm thấy thì nút con nào có cận dưới nhỏ hơn sẽ được ưu tiên phân nhánh trước.
- Mỗi lần quay lui để xét nút con chưa được xét của một nút ta phải xem xét lại nút con đó để có thể cắt tỉa các cây của nó hay không vì có thể một phương án có giá nhỏ nhất tạm thời vừa được tìm thấy.
- Sau khi tất cả các con đã được phân nhánh hoặc bị cắt tỉa thì phương án có giá nhỏ nhất trong các phương án tìm được là phương án cần tìm.
Trong quá trình xây dựng cây có thể ta đã xây dựng được một số nút lá, như ta biết mỗi nút lá biểu diễn cho một phương án. Giá nhỏ nhất trong số các giá của các phương án này được gọi là giá nhỏ nhất tạm thời.
Ví dụ 3-10 : Xét bài toán TSP trong ví dụ 3-7 nói trên.
Tập hợp các cạnh để xét phân nhánh là ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce và de. Ðiều kiện bổ sung ở đây là mỗi đỉnh phải được chọn hai cạnh, bị loại hai cạnh và không được tạo ra chu trình thiếu.
Nút gốc A bao gồm tất cả các phương án, có cận dưới là 17.5. Phân nhánh cho A, xây dựng hai con là B và C. Tính cận dưới cho hai nút này được cận dưới của B là 17.5 và C là 18.5. Nút B có cận dưới nhỏ hơn nên được phân nhánh trước. Hai con của B là D và E. Các ràng buộc của D và E giống nh-ư ta đã nói trong ví dụ của phần phân nhánh. Tính cận cho D và E, được cận dưới của D là 20.5 và của E là 18. Nút E được xét trước. Phân nhánh cho nút E theo cạnh ad, hai con của E là F và G. F chứa ad và G không chứa ad. Do F kế thừa các thuộc tính của E và B, nên F là tập hợp các phương án chứa ab, ad và không chứa ac, đỉnh a đã đủ cấp 2 vậy F không chứa ae. Tương tự G chứa ab, không chứa ac, không chứa ad nên phải chứa ae. Tính cận dưới cho F và G được cận dưới của F là 18 và của G là 23. Tiếp tục xây dựng hai con cho F theo cạnh bc là H và I. H chứa bc và I không chứa bc. Do H kế thừa các thuộc tính của B, E và F nên H là các phương án chứa ab, ad, không chứa ac và chứa bc. Như vậy đỉnh a đã thỏa điều kiện là được chọn hai cạnh (ab và ad) và bị loại hai cạnh (ac và ae), Ðỉnh b đã được chọn 2 cạnh (ba và bc) nên bd và be bị loại. Ðỉnh c đã được chọn cb, bị loại ca, ta có thể chọn cd hoặc ce. Nếu chọn cd thì sẽ có một chu trinh thiếu a b c d a, như vậy cd bị loại nên phải chọn ce. Ðỉnh d có db và dc đã bị loại, da đã được chọn nên phải chọn thêm de. Lúc đó đỉnh e cũng đã có hai cạnh được chọn là ec và ed, hai cạnh bị loại là eb và ea. Tóm lại H là tập chỉ bao gồm một phương án a b c e d a có giá là 23. Ðối với I ta đã có I chứa ab, không chứa ac, chứa ad, không chứa ae và không chứa bc. Bằng lý luận tương tự ta có I không chứa bd, chứa be, cd, ce và không chứa de. Một phương án mới là a b e c d a với giá 21. Ðây là giá nhỏ nhất tạm thời mới được tìm thấy.
Bây giờ ta quay lui về E và xét nút con của nó là G. Vì G có cận dưới là 23 lớn hơn giá thấp nhất tạm thời 21 nên cắt tỉa các con của G.
Quay lui về B và xét nút con D của nó. Cận dưới của D là 20.5 không lớn hơn 21. Nhưng vì độ dài các cạnh trong bài toán đã cho là số nguyên nên nếu ta triển khai các con của D tới nút lá gồm một phương án. Giá của phương án này phải là một số nguyên lớn hơn 20.5 hay lớn hơn hoặc bằng 21. Vậy ta cũng không cần xây dựng các con của D nữa.
Tiếp tục quay lui đến A và xét con C của nó. Phân nhánh C theo cạnh ac thành hai con J và K. J chứa ac có cận dưới là 18.5. K không chứa ac nên phải chứa ad và ae, cận dưới của K là 21 bằng giá nhỏ nhất tạm thời nên cắt tỉa các con của K.
Hai con của J là L và M. M không chứa ad, ab, chứa ac và ae có cận dưới 23.5 nên bị cắt tỉa các con. Hai con của L là N và O, N chứa bc và O không chứa bc.
Xét nút N ta có: Ðỉnh a được chọn hai cạnh ac và ad, bị loại hai cạnh ab và ae. Ðỉnh b đã được chọn bc, bị loại ba, ta có thể chọn bd hoặc be. Nếu chọn bd thì sẽ có một chu trình thiếu là a c b d a, vậy phải loại bd và chọn be. Ðỉnh c đã được chọn ca, cb nên phải loại cd và ce. Ðỉnh d đã được chọn da, bị loại db và dc nên phải chọn de. Khi đó đỉnh e có đủ hai cạnh được chọn là eb, ed và hai cạnh bị loại là ea và ec. Vậy N bao gồm chỉ một phương án là a c b e d a với giá 19.
Tương tự nút O bao gồm chỉ một phương án a c e b d a có giá là 23.
Tất cả các nút con của cây đã được xét hoặc bị cắt tỉa nên phương án cần tìm là a c b e d a với giá 19.
Hình 3-13 minh họa cho những điều ta vừa nói.
Bài toán cái ba lô
Ta thấy đây là một bài toán tìm max. Danh sách các đồ vật được sắp xếp theo thứ tự giảm của đơn giá để xét phân nhánh.
- Nút gốc biểu diễn cho trạng thái ban đầu của ba lô, ở đó ta chưa chọn một vật nào. Tổng giá trị được chọn TGT = 0. Cận trên của nút gốc CT = W * Ðơn giá lớn nhất.
- Nút gốc sẽ có các nút con tương ứng với các khả năng chọn đồ vật có đơn giá lớn nhất. Với mỗi nút con ta tính lại các thông số:
- TGT = TGT (của nút cha) + số đồ vật được chọn * giá trị mỗi vật.
- W = W (của nút cha) - số đồ vật được chọn * trọng lượng mỗi vật.
- CT = TGT + W * Ðơn giá của vật sẽ xét kế tiếp.
- Trong các nút con, ta sẽ ưu tiên phân nhánh cho nút con nào có cận trên lớn hơn trước. Các con của nút này tương ứng với các khả năng chọn đồ vật có đơn giá lớn tiếp theo. Với mỗi nút ta lại phải xác định lại các thông số TGT, W, CT theo công thức đã nói trong bước 2.
- Lặp lại bước 3 với chú ý: đối với những nút có cận trên nhỏ hơn hoặc bằng giá lớn nhất tạm thời của một phương án đã được tìm thấy thì ta không cần phân nhánh cho nút đó nữa (cắt bỏ).
- Nếu tất cả các nút đều đã được phân nhánh hoặc bị cắt bỏ thì phương án có giá lớn nhất là phương án cần tìm.
| Loại đồ vật | Trọng lượng | Giá trị | Đơn giá |
| b | 10 | 25 | 2.5 |
| a | 15 | 30 | 2.0 |
| d | 4 | 6 | 1.5 |
| c | 2 | 2 | 1 |
Gọi X A , X B , X C , X D là số lượng cần chọn tương ứng của các đồ vật a, b, c d.
Nút gốc A biểu diễn cho trạng thái ta chưa chọn bất cứ một đồ vật nào. Khi đó tổng giá trị TGT =0, trọng lượng của ba lô W=37 (theo đề ra) và cận trên CT = 37*2.5 = 92.5, trong đó 37 là W, 2.5 là đơn giá của đồ vật b.
Với đồ vật b, ta có 4 khả năng: chọn 3 đồ vật b (X B =3), chọn 2 đồ vật b (X B =2), chọn 1 đồ vật b (X B =1) và không chọn đồ vật b (X B =0). Ứng với 4 khả năng này, ta phân nhánh cho nút gốc A thành 4 con B, C, D và E.
Với nút con B, ta có TGT = 0+ 3*25 = 75, trong đó 3 là số vật b được chọn, 25 là giá trị của mỗi đồ vật b. W = 37- 3*10 = 7, trong đó 37 là trọnh lượng ban đầu của ba lô, 3 là số vật b được, 10 là trọng lượng mõi đồ vật b. CT = 75 + 7*2 = 89, trong đó 75 là TGT, 7 là trọng lượng còn lại của ba lô và 2 là đơn giá của đồ vật a. Tương tự ta tính được các thông số cho các nút C, D và E, trong đó cận trên tương ứng là 84, 79 và 74.
Trong các nút B, C, D và E thì nút B có cận trên lớn nhất nên ta sẽ phân nhánh cho nút B trước với hy vọng sẽ có được phương án tốt từ hướng này. Từ nút B ta chỉ có một nút con F duy nhất ứng với X A =0 (do trọng lượng còn lại của ba lô là 7, trong khi trọng lượng của mỗi đồ vật a là 15). Sau khi xác định các thông số cho nút F ta có cận trên của F là 85.5. Ta tiếp tục phân nhánh cho nút F. Nút F có 2 con G và H tương ứng với X D =1 và X D =0. Sau khi xác định các thông số cho hai nút này ta thấy cận trên của G là 84 và của H là 82 nên ta tiếp tục phân nhánh cho nút G. Nút G có hai con là I và J tương ứng với X C =1 và X C =0. Ðây là hai nút lá (biểu diễn cho phương án) vì với mỗi nút thì số các đồ vật đã được chọn xong. Trong đó nút I biểu diễn cho phương án chọn X B =3, X A =0, X D =1 và X C =1 với giá 83, trong khi nút J biểu diễn cho phương án chọn X B =3, X A =0, X D =1 và X C =0 với giá 81. Như vậy giá lớn nhất tạm thời ở đây là 83.
Quay lui lên nút H, ta thấy cận trên của H là 82<83 nên cắt tỉa nút H.
Quay lui lên nút C, ta thấy cận trên của C là 84>83 nên tiếp tục phân nhánh cho nút C. Nút C có hai con là K và L ứng với X A =1 và X A =0. Sau khi tính các thông số cho K và L ta thấy cận trên của K là 83 và của L là 75.25. Cả hai giá trị này đều không lớn hơn 83 nên cả hai nút này đều bị cắt tỉa. Cuối cùng các nút D và E cũng bị cắt tỉa. Như vậy tất cả các nút trên cây đều đã được phân nhánh hoặc bị cắt tỉa nên phương án tốt nhất tạm thời là phương án cần tìm. Theo đó ta cần chọn 3 đồ vật loại b, 1 đồ vật loạ d và một đồ vật loại c với tổng giá trị là 83, tổng trọng lượng là 36. Xem minh hoạ trong hình 3-14.
Hình 3-14: Kĩ thuật nhánh cận áp dụng cho bài toán cái ba lô
