Ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A cấp n là ma trận được ký hiệu là A-1, thoả mãn điều kiện

A-1A = A A-1 = E

Trong đó E là ma trận đơn vị. Có thể chứng minh rằng để thỏa mãn điều kiện trên thì bắt buộc A-1 phải là ma trận vuông, và ma trận đảo nếu tồn tại là duy nhất.

Điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo: Ma trận vuông A cấp n có ma trận nghịch đảo

khi và chỉ khi det A ≠ 0.

Cách tính ma trận nghịch đảo:

Gọi Aij là phần bù đại số của phần tử aij, khi đó ta có:

Tuy nhiên công thức này chỉ có ý nghĩa lý thuyết, không thể áp dụng để tính trực tiếp ma trận đảo trên máy tính được vì số phép tính đòi hỏi quá lớn.

Trong phần sau ta sẽ áp dụng phương pháp khử Gauss-Jordan để tính ma trận nghịch đảo với số phép tính nhỏ hơn nhiều (khoảng n3)

Hệ phương trình đại số tuyến tính

Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số x1, x2,...,xn như sau:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . (2.1)

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

Hệ phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận Ax = b, trong đó

a11 a12 ... a1n

A= a21 a22 ... a2n

...

an1 an2 ... ann

còn x và b là các vec tơ cột.