Mạch điện đơn giản RL và RC xét đến một lớp mạch chỉ chứa một phần tử tích trữ năng lượng (L hoặc C) với một hay nhiều điện trở.
Áp dụng các định luật Kirchhoff cho các loại mạch này ta được các phương trình vi phân bậc 1, do đó ta thường gọi các mạch này là mạch điện bậc 1.
Do trong mạch có các phần tử tích trữ năng lượng nên đáp ứng của mạch, nói chung, có ảnh hưởng bởi điều kiện ban đầu của mạch. Vì vậy, khi giải mạch chúng ta phải quan tâm tới các thời điểm mà mạch thay đổi trạng thái (thí dụ do tác động của một khóa K), gọi là thời điểm qui chiếu t0 (trong nhiều trường hợp, để đơn giản ta chọn t0=0). Để phân biệt thời điểm ngay trước và sau thời điểm qui chiếu ta dùng ký hiệu t0-(trước) và t0+ (sau).
Mạch không chứa nguồn ngoài – Phương trình vi phân thuần nhất
Mạch RC không chứa nguồn ngoài
Xét mạch (H 4.1a).
- Khóa K ở vị trí 1 để nguồn V0 nạp cho tụ. Lúc tụ đã nạp đầy (hiệu thế 2 đầu tụ là V0) dòng nạp triệt tiêu i(0-)=0 (Giai đoạn này ứng với thời gian t=- ∞ đến t=0-).
- Bật K sang vị trí 2, ta xem thời điểm này là t=0. Khi t>0, trong mạch phát sinh dòng i(t) do tụ C phóng điện qua R (H 4.1b).
Xác định dòng i(t) này (tương ứng với thời gian t≥0).
Gọi v(t) là hiệu thế 2 đầu tụ lúc t>0
Áp dụng KCL cho mạch (H 4.1b)
Từ các kết quả trên, ta có thể rút ra kết luận:
- Dòng qua tụ C đã thay đổi đột ngột từ trị 0 ở t=0- đến V0/R ở t=0+. Trong lúc
- Hiệu thế hai đầu tụ không đổi trong khoảng thời gian chuyển tiếp từ t=0- đến t=0+:
vC(0+)=vC(0-)=V0.
Đây là một tính chất đặc biệt của tụ điện và được phát biểu như sau:
Hiệu thế 2 đầu một tụ điện không thay đổi tức thời
Dạng sóng của v(t) (tương tự cho i(t)) được vẽ ở (H 4.2)
Mạch RL không chứa nguồn ngoài
Xét mạch (H 4.3a).
Từ các kết quả trên, ta có thể rút ra kết luận:
- Hiệu thế hai đầu cuộn dây đã thay đột ngột đổi từ vL(0-)=0 đến vL(0+)=-RI0.
- Dòng qua cuộn dây không đổi trong khoảng thời gian chuyển tiếp từ t=0- đến t=0+:
iL(0+) = iL(0-) = I0 = V0/R.
Đây là một tính chất đặc biệt của cuộn dây và được phát biểu như sau:
Dòng điện qua một cuộn dây không thay đổi tức thời
Dạng sóng của v(t) (tương tự cho i(t)) được vẽ ở (H 4.4)
- (H 4.4a) tương ứng với V0 và R không đổi, cuộn dây có trị L và 2L
- (H 4.2b) tương ứng với V0 và L không đổi, điện trở có trị R và 2R
Thời hằng
Trong các mạch có chứa các phần tử tích trữ năng lượng và các điện trở, khi mạch hoạt động năng lượng của phần tử có thể giảm dần theo thời gian do sự tiêu hao qua điện trở, dưới dạng nhiệt. Để đo mức độ giảm nhanh hay chậm của các đại lượng này, người ta dùng khái niệm thời hằng.
Trong hai thí dụ trên, đáp ứng có chung một dạng:
Lưu ý là tiếp tuyến của đường biểu diễn tại t=0 cắt trục hoành tại điểm 1, tức t = τ , điều này có nghĩa là nếu dòng điện giảm theo tỉ lệ như ban đầu thì triệt tiêu sau thời gian τ chứ không phải 4τ hoặc 5τ.
Thời hằng của một mạch càng nhỏ thì đáp ứng giảm càng nhanh (thí dụ tụ điện phóng điện qua điện trở nhỏ nhanh hơn phóng điện qua điện trở lớn). Người ta dùng tính chất này để so sánh đáp ứng của các mạch khác nhau.
Mạch chứa nguồn ngoài – Phương trình vi phân có vế 2
Mạch chứa nguồn DC
Chúng ta xét đến mạch RL hoặc RC được kích thích bởi một nguồn DC từ bên ngoài. Các nguồn này được gọi chung là hàm ép (forcing function).
Xét mạch (H 4.6). Khóa K đóng tại thời điểm t=0 và tụ đã tích điện ban đầu với trị V0. Xác định các giá trị v, iC và iR sau khi đóng khóa K, tức t>0.
Hằng số A bây giờ tùy thuộc vào điều kiện đầu (V0) và cả nguồn kích thích (I0)
Đáp ứng gồm 2 phần:
Phần chứa hàm mũ có dạng giống như đáp ứng của mạch RC không chứa nguồn ngoài, phần này hoàn toàn được xác định nhờ thời hằng của mạch và được gọi là đáp ứng tự nhiên:
Phần thứ hai là một hằng số, tùy thuộc nguồn kích thích, được gọi là đáp ứng ép
vf=RI0 .
Trong trường hợp nguồn kích thích DC, vf là một hằng số.
(H 4.7) là giản đồ của các đáp ứng v, vnvà vf
Lưu ý là khi chuyển đổi khóa K, hiệu thế 2 đầu điện trở đã thay đổi đột ngột từ RI0 ở t=0- đến V0 ở t=0+ còn hiệu thế 2 đầu tụ thì không đổi.
Về phương diện vật lý, hai thành phần của nghiệm của phương trình được gọi là đáp ứng giao thời (transient response) và đáp ứng thường trực (steady state response).
Đáp ứng giao thời → 0 khi t → ∞ và đáp ứng thường trực chính là phần còn lại sau khi đáp ứng giao thời triệt tiêu.
Trong trường hợp nguồn kích thích DC, đáp ứng thường trực là hằng số và chính là trị của đáp ứng khi mạch đạt trạng thái ổn định (trạng thái thường trực)
Điều kiện đầu và điều kiện cuối (Initial and final condition)
Điều kiện đầu
Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng số tích phân bằng cách dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái này phụ thuộc vào các đại lượng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lượng.
Dựa vào tính chất:
Hiệu thế ngang qua tụ điện và dòng điện chạy qua cuộn dây không thay đổi tức thời:
vC(0+)=vC(0-) và iL(0+)=iL(0-)
- Nếu mạch không tích trữ năng lượng ban đầu thì:
vC(0+)=vC(0-) = 0, tụ điện tương đương mạch nối tắt.
iL(0+)=iL(0-) = 0, cuộn dây tương đương mạch hở.
- Nếu mạch tích trữ năng lượng ban đầu:
Hiệu thế ngang qua tụ tại t=0- là V0=q0/C thì ở t=0+ trị đó cũng là V0 , ta thay bằng một nguồn hiệu thế.
Dòng điện chạy qua cuộn dây tại t=0- là I0 thì ở t=0+ trị đó cũng là I0 , ta thay bằng một nguồn dòng điện.
Các kết quả trên được tóm tắt trong bảng 4.1
Điều kiện cuối
Do đó, ở trạng thái thường trực DC, tụ điện được thay bằng một mạch hở và cuộn dây được thay bằng một mạch nối tắt.
Ghi chú: Đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một khóa K, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch kia.
Thí dụ 4.1
Xác định hiệu thế v(t) trong mạch (H 4.8a). Biết rằng mạch đạt trạng thái thường trực trước khi mở khóa K.
(H 4.8b) là mạch tương của (H 4.8a) ở t=0-, tức mạch (H 4.8a) đạt trạng thái thường trực, tụ điện tương đương với mạch hở và điện trở tương đương của phần mạch nhìn từ tụ về bên trái:
