Phép chồng (CONVOLUTION)

Phép chồng 2 hàm r(t) và s(t) được định nghĩa bởi thuật toán tích phân:

(2.41)

Ký hiệu * thì được qui ước và đọc “ r(t) chồng với s(t) “.

Tích phân thứ hai là kết quả từ sự đổi biến số và chứng tỏ rằng phép chồng có tính giao hoán vậy:

r(t) * s(t) = s(t) * r(t).

Nhớ là phép chồng 2 hàm của t là một hàm của t. T là một biến số giả do tích phân mà ra.

Một cách tổng quát, tích phân của phương trình (2.41) thì rất khó tính.

Ví dụ 7: Tính phép chồng của r(t) với s(t). Trong đó, r(t) và s(t) là những xung vuông được vẽ như hình.

Hình 2.11 Dạng tín hiệu r(t) và s(t).

Giải:

Các hàm có thể viết dưới dạng:

Như vậy, tích phân được tính thành từng phần:

Bây giờ, ta nhớ rằng u ( T + 1 ) thì bằng zero với T < -1 và u ( T - 1 ) thì bằng zero với t < 1. Như vậy, những giới hạn của tích phân được thu lại:

Ta đã thay một của các hàm nấc bằng trị giá của nó ( là 1 ) trong khoảng mà nó áp dụng. Bây giờ, ta cố gắng tính từng tích phân. Nhớ là:

Ta có:

( Vì rằng t + 2 > -1 hoặc t > -3. Ở khoảng khác, tích phân là zero).

- Nếu t - 2 > -1 hoặc t > 1,

- Nếu t + 2 > +1 hoặc t > -1,

- Nếu t - 2 > 1 hoặc t > 3,

Dùng 4 kết quả đó ta có:

r(t) * s(t) = ( t + 3)u(t + 3) - (t - 1)u(t - 1) - (t + 1)u(t + 1) + (t - 3)u(t - 3)

Bốn số hạng này và tổng của chúng được vẽ như hình dưới đây. Từ ví dụ khiêm tốn này, ta có thể thấy rằng nếu r(t) hoặc s(t) chứa hàm nấc, thì cách tính phép chồng trở nên rất lúng túng.

Hình 2.12 Phép chồng của tín hiệu r(t) và tín hiệu s(t).