Q U A N H Ệ
G iớ i t h i ệ u
Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết tập hợp và logic, một quan hệ là một thuộc tính mà gán giá trị chân lý tới một bộ k phần tử. Thuộc tính này mô tả một mối liên kết có thể giữa các phần tử của bộ k-phần tử. Cho một bộ k-phần tử, giá trị chân lý tới bộ k-phần tử theo như thuộc tính đã mô tả là đúng hay sai.
Một. ví dụ về quan hệ bộ 3 là "Xđược giới thiệu với Ybởi Z", trong đó (X,Y,Z) là bộ 3-người; ví dụ, "Beatrice Wood được giới thiệu với Henri-Pierre Roché bởi Marcel Duchamp" là đúng, trong khi "Karl Marx được giới thiệu với Friedrich Engels bởi Queen Victoria" là sai
Biến k trong quan hệ trên là các số nguyên không âm (0,1,2,…) được gọi là ngôi hay chiều của quan hệ. Một quan hệ có k phần tử thì gọi là quan hệ k-ngôi.
Quan hệ 0-ngôi được gọi là quan hệ có bộ rỗng. Quan hệ 2 ngôi là thông dụng trong
toán học và trong cả tin học.
Ví du
Phương trình và bất phương trình, ký hiệu bằng các dấu "=" và "<" trong câu lệnh như "5 < 12";
Quan hệ chia hết được ký hiệu bởi "|" trong câu lệnh "13 | 1001";
Các phần tử trong tập hợp được ký hiệu bởi "∈ " trong câu lệnh "1 ∈ N".
Quan hệ k-ngôi, k≠ 2, là trường hợp tổng quát của quan hệ 2 ngôi.
Ví d ụ
Trong phần này, chúng ta giới thiệu về quan hệ gặp thường ngày. Xét mệnh đề
" X nghĩ rằng Y thích Z ". Chúng ta có bảng sau
| Q u an h ệ S : X n g h ĩ r ằ n g Y t h ích Z | ||
| X | Y | Z |
| Alice | Bob | Denise |
| Charles | Alice | Bob |
| Charles | Charles | Alice |
| Denise | Denise | Denise |
Mỗi hàng của bảng cho chúng ta một mệnh đề “X nghĩ rằng Y thích Z”, ví dụ như hàng đầu tiên có nghĩa là "Alice nghĩ rằng Bob thích Denise". Bảng thể hiện một quan hệ S trên tập P gồm các người được thảo luận sau:
P= {Alice, Bob, Charles, Denise}.
Dữ liệu trong bảng tương đương với các tập bộ ba thứ tự sau:
S = {(Alice, Bob, Denise), (Charles, Alice, Bob), (Charles, Charles, Alice), (Denise, Denise, Denise)}.
Chúng ta cũng hiểu rằng S(Alice, Bob, Denise) để chỉ hàng đầu của bảng. Quan hệ S là quan hệ 3 ngôi. Quan hệ tự nó cũng là một đối tượng toán học được xem như là một khái niêm hình thức của lý thuyết tập (có nghĩa là quan hệ là một tập của tích đề các trên {Person X, Person Y, Person Z}). Do vậy, trong toán học có thể coi quan hệ là một tập.
Trong bảng quan hệ trên, S cũng là một ví dụ rất đơn giản của một cơ sở dữ liệu quan hệ. Lý thuyết cơ sở dữ liệu quan hệ là một nhánh đặc biệt của khoa học máy tính. Tuy nhiên, các nhà khoa học máy tính, nhà toán học, hay các nhà logic đều có các nhìn khác nhau đối với từng ví dụ của quan hệ.
Đ ị n h n g h ĩa
Có hai định nghĩa cho quan hệ k-ngôi trong toán học là:
Định nghĩa 1.Một quan hệ L trên các tập X1, …, Xklà một tập con của tích Đề các L
∈ X1 × … × Xk.
Các quan hệ được phân loại theo số các tập trên tích Đềcác, tức là theo số ngôi trên
L. Ví dụ:
Luký hiệu của quan hệ 1-ngôi, hay chỉ tính chất của ngôi;
Luvhay uLvchỉ quan hệ nhị phân;
Luvwchỉ quan hệ tam phân;
Luvwxchỉ quan hệ tứ phân.
Các quan hệ nhiều hơn 4 phần tử được gọi là quân hệ k-ngôi hay n-ngôi.
Định nghĩa 2.Một quan hệ L trên các tập X1, …, Xklà một (k+1)-bộ L= (X1, …, Xk, G(L)), trong đó G(L) là tập con của tích Đềcác X1 × … × Xk. G(L) được gọi là đồ thị của L.
Một quan hệ thường được viết dưới dạng ký tự đậm a= (a1, …, ak) hay biến X= (x1, …, xk).