Xây dựng đa thức nội suy.

Ký hiêu L_n(x) là đa thức nội suy cần tìm. Lagrange chọn đa thức này dưới dạng:

trong đó $L_n^k(x)$ (k=0;n) là (n+1) đa thức bậc n có n nghiệm x = x_i (với i≠k) và $L_n^k(x_k)=1$;

Dễ thấy:

Hay ta có đa thức nội suy cần tìm.

Ví dụ 1. Giả sử với hàm y=f(x) ta đo được tại x₀ và x₁ tương ứng là y₀= f(x₀) và y₁ =f(x₁) thì:

ta được:

Đây chính là đường thẳng đi qua 2 điểm (x₀,y₀) và (x₁,y₁).

Ví dụ 2: Hàm y=f(x) đo được tại 4 điểm như sau.

Vì y₁=0 nên không cần tính $L_3^1(x)$.

Vậy

$L_3(x)=y_0{L}_3^0(x)+y_2{L}_3^2(x)+y_3{L}_3^3(x)=\frac{\text{125}}{3}{x}^3-\text{30}{x}^2+\frac{\text{73}}{\text{12}}x-\mathrm{0,5}$

là đa thức nội suy cần tìm.