Chuyển động thẳng :

Xét một chất điểm chuyển động theo quĩ đạo thẳng với gia tốc

. Theo định nghĩa (I.7), ta có :

Lấy tích phân hai vế của phương trình trên, ta được :

(I.18)

trong đó vo là hằng số tích phân do tích phân trên không có cận, nó được xác định từ điều kiện ban đầu, tức là khi t = 0. Từ (I.18) ta cho t = 0 được v=v_o,_{do đó có thể thấy rõ là vochính là vận tốc ban đầu.}

Mặt khác từ biểu thức (I.3) ta có thể viết :

ds = vdt hay ds = (vo + at) dt

Lấy tích phân hai vế phương trình trên ta có :

(I.19)

trong đó so là hằng số tích phân. Tương tự có thể thấy ngay so là quãng đường ban đầu.

Phương trình (I.19) chính là phương trình chuyển động của chuyển động thẳng của chất điểm, còn (I.17) chính là phương trình chuyển động của chất điểm trong chuyển động tròn, nó có dạng hoàn toàn như (I.19), điểm khác nhau cơ bản của (I.17) so với (I.19) là trong chuyển động tròn ta phải thay tọa độ dài s bằng tọa độ góc q , vận tốc dài v bằng vận tốc góc w và gia tốc dài a bằng gia tốc góc b .

Chuyển động của viên đạn pháo :

Xét chuyển động của một viên đạn pháo được bắn lên với một vận tốc ban đầu không đổi

và làm với phương nằm ngang một góc là a .

Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên :  trục Ox hướng theo phương nằm ngang còn Oy theo phương thẳng đứng. Viên đạn chuyển động trong trường trọng lực nhưng do trong lực hương theo phương Oy nên theo phương Ox ta có thể xem như chuyển động của nó là chuyển động đều với vận tốc vx=vocosa    còn theo phương Oy viên đạn sẽ chuyển động  chậm dần do ngược chiều với gia tốc rơi tự do

với vận tốc được xác định theo (I.18) :

Để ý đến (I.19) ta có thể viết phương trình chuyển động của viên đạn pháo trong hệ tọa độ Đề-các như sau :

Để tìm phương trình quĩ đạo của viên đạn, ta phải khử tham số thời gian t như sau : từ phương trình đầu ta có :

Thay biểu thức trên của t vào phương trình thứ hai ta tìm được phương trình quĩ đạo của viên đạn :

Phương trình này chứng tỏ quĩ đạo của viên đạn là một parapol có phần lõm quay xuống dưới.

Muốn tìm độ cao cực đại ymax_{mà viên đạn đạt được ta có nhận xét sau : khi viên đạn có độ cao cực đại thì vận tốc vy của nó bằng 0. Gọi t1 là thời gian từ lúc bắn cho đến khi viên đạn có độ cao cực đại thì t1 thỏa mãn phương trình :}

Từ đó ta tính được :

Thay giá trị này của t₁ vào trong biểu thức (2) của y, ta tìm được độ cao cực đại của viên đạn :

Tầm xa cực đại xmax mà viên đạn đạt được ứng với thời gian từ lúc bắn đến khi nó chạm đất là t = 2t₁. Thay giá trị này của t vào biểu thức (1) của x ta tìm được :

Ta cũng có thể tìm được độ cong cực đại của quĩ đạo của viên đạn. Ta nhận xét rằng quĩ đạo có độ cong cực đại tại đỉnh A của parabôn. Muốn tìm độ cong quĩ đạo tại A ta cần phải tìm gia tốc của chuyển động tại điểm đó. Vì tại A thì vy= 0 nên v=vx=vocosa =Cte nên gia tốc tiếp tuyến của viên đạn tại điểm đó bằng 0 và do đó gia tốc pháp tuyến

bằng gia tốc toàn phần

, nhưng trong trường hợp này

=

.

Vì vậy ta có :

Từ đó tính được độ cong K = 1/R của quĩ đạo tại điểm A :

Chuyển động xy-clô-it :

Xét chuyển động của một điểm M ở trên một vành bánh xe lăn đều trên mặt đường với vận góc w _o. Chúng ta hãy tìm phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ qui chiếu đứng yên được chọn là một cái cây đứng bên lề đường. Muốn làm được điều này trước hết chúng ta hãy viết phương trình chuyển động của chất điểm đối với hệ qui chiếu gắn liền với tâm I của bánh xe. Đối với hệ qui chiếu này thì rõ ràng là điểm M chuyển động tròn đều với vận tốc góc là w _o. Ta ký hiệu hệ qui chiếu này là x’Iz’. Để chọn gốc tọa độ của hệ qui chiếu đứng yên ta làm như sau : khi chuyển động điểm M nhiều lần chạm mặt đường, ta chọn một vị trí nào đó khi M chạm mặt đường làm gốc tọa độ O của hệ tọa độ đứng yên xOz. Hình dưới trình bày vị trí của điểm M ở thời điểm t. Ta thấy bán kính vectơ

đã quay được một gócj =w _ot.

Vì bánh xe lăn không trượt nên đoạn đường dịch chuyển

của bánh xe bằng độ dài của cung

.

Ta tìm các tọa độ x và z của điểm M ở thời điểm t.

Trong hệ tọa độ x’Iz’ gắn với tâm I của vành xe thì tọa độ của điểm M là  :

x’=-Rsinw_ot

z’=-Rcosw_ot

Điểm I dịch chuyển theo phương Ox nên tọa độ của nó trong hệ xOz là :

xI =

=

= Rw_ot

zI = R

Vậy tọa độ x và z của điểm M trong hệ tọa độ xOz là :

Đây là phương trình chuyển động của điểm M trong hệ tọa độ đứng yên, đồng thời là phương trình quĩ đạo dưới dạng tham số.

Quĩ đạo của M là một đường cong gồm nhiều cung giống nhau gọi là các cung xy-clô-it. Khi vành xe quay được một vòng thì điểm M đi được quãng đường là 2p R và nó vạch được một cung xy-clô-it.

Hình 7 trình bày các cung xy-clô-it và vị trí của bánh xe trên đường.

	***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***
O	***SORRY, THIS MEDIA TYPE IS NOT SUPPORTED.***	X

 Hình 7. Quĩ đại xy-clô-it

Ta hãy tính vận tốc của điểm M. Từ phương trình chuyển động, ta có :

Tại những điểm lúc M chạm mặt đường thì góc j =w _ot=2kp nên vx=vz=0, do đó v=0. Vậy vận tốc tức thời của điểm M khi nó chạm mặt đường là bằng 0. Dễ dàng suy ra rằng ở đoạn lên của cung xy-clô-it thì vận tốc của M tăng dần, đạt cực đại ở đỉnh cung và sau đó giảm dần cho đến 0 rồi lại tăng dần … quá trình cứ thế lặp đi lặp lại.