Phương trình Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống

Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng bài toán trong hệ $N$ điện tử tự do cho bài toán tổng quát: hệ nhiều điện tử và lỗ trống tương tác với nhau trong chấm lượng tử parabolic. Bài toán bây giờ trở nên phức tạp hơn vì ngoài tương tác giữa các điện tử với nhau còn có thêm tương tác giữa điện tử với lỗ trống và lỗ trống với lỗ trống.

Hamilton toàn phần của hệ có dạng

\hat{H} = \sum_{i = 1}^{N} h ({\vec{r}}_{i}) + \sum_{k = 1}^{M} h^{'} ({\vec{r}}_{k}) + \sum_{i < j}^{N} \frac{e^{2}}{ϵ r_{i j}} + \sum_{k < l}^{M} \frac{e^{2}}{ϵ r_{k l}} - \sum_{i = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{M} \frac{e^{2}}{ϵ r_{i k}},

$h ({\vec{r}}_{i})$ là Hamiltonian đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường

h ({\vec{r}}_{i}) = - \frac{\nabla_{i}^{2}}{2 m_{e}^{*}} + \frac{m_{e}^{*}}{2} (ω_{e}^{2} + \frac{ω_{c_{e}}^{2}}{4}) r_{i}^{2} + \frac{1}{2} ω_{c_{e}} {\hat{L}}_{z i},

với năng lượng riêng

ϵ_{n m} = Ω_{e} (2 n + | m | + 1) + \frac{1}{2} m ω_{c_{e}}

Tương tự, đối với lỗ trống

h^{'} ({\vec{r}}_{k}) = - \frac{\nabla_{k}^{2}}{2 m_{h}^{*}} + \frac{m_{h}^{*}}{2} (ω_{h}^{2} + \frac{ω_{c_{h}}^{2}}{4}) r_{k}^{2} - \frac{1}{2} ω_{c_{h}} {\hat{L}}_{z k},

với năng lượng riêng

ϵ_{n m} = Ω_{h} (2 n + | m | + 1) - \frac{1}{2} m ω_{c_{h}} .

Các kí hiệu $Ω_{e}^{2} = ω_{e}^{2} + \frac{1}{4} ω_{c_{e}}^{2}$ vµ $Ω_{h}^{2} = ω_{h}^{2} + \frac{1}{4} ω_{c_{h}}^{2},$

$ω_{c_{e}}, ω_{c_{h}}$ là tần số cyclotron của điện tử và lỗ trống,

$m_{e}^{*}, m_{h}^{*}$ là khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống,

${\hat{L}}_{z}$ là thành phần z của toán tử momen động lượng của điện tử hoặc lỗ trống,

$ϵ$ là hằng số điện môi.

Đơn vị chiều dài được dùng là bán kính Born hiệu dụng $a_{B} = \frac{ℏ^{2} ϵ}{m_{e}^{*} e^{2}}$ , đơn vị năng lượng là 2 lần năng lượng Rydberg $2 R y = \frac{m_{e}^{*} e^{4}}{ℏ^{2} ϵ^{2}}$

Hàm sóng của hệ được tìm trực tiếp từ hàm sóng của $N$ điện tử với hàm sóng của $M$ lỗ trống (Hàm sóng của $N$ điện tử và hàm sóng của $M$ lỗ trống phải có dạng phản đối xứng để chúng thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli của hệ các hạt đồng nhất). Hàm sóng của hệ có dạmg

\begin{matrix} Ψ (ξ_{e_{1}}, ..., ξ_{e_{N}}, ξ_{h_{1}}, ..., ξ_{h_{M}}) & = & | ψ_{1} (ξ_{e_{1}}), ..., ψ_{N} (ξ_{e_{N}}) | \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix} \times & | ψ_{1} (ξ_{h_{1}}), ..., ψ_{M} (ξ_{h_{M}}) | \end{matrix}

trong đó $ξ$ là biến số đặc trưng cho cả toạ độ và spin

Với năng lượng

E = \int Ψ^{*} (ξ_{e_{1}}, ..., ξ_{e_{N}}, ξ_{h_{1}}, ..., ξ_{h_{M}}) \hat{H} Ψ (ξ_{e_{1}}, ..., ξ_{e_{N}}, ξ_{h_{1}}, ..., ξ_{h_{M}})

Các hàm $ψ (ξ)$ thỏa mãn điền kiện trực giao chuẩn hóa

\int ψ_{i}^{*} (ξ_{e_{i}}) ψ_{j} (ξ_{e_{j}}) d ξ_{e_{i}} d ξ_{e_{j}} = δ_{e_{i} e_{j}} \equiv δ_{i j}

\int {\bar{ψ}}_{k}^{*} (ξ_{h_{k}}) {\bar{ψ}}_{l} (ξ_{h_{l}}) d ξ_{h_{k}} d ξ_{h_{l}} = δ_{h_{k} h_{l}} \equiv δ_{k l}

Hàm sóng $ψ (ξ)$ được viết dưới dạng

ψ_{i} (ξ_{e_{i}}) = \{\begin{matrix} ϕ_{i}^{α} (\vec{r}) α (σ) & đối với điện tử có spin lên (↑) \\ ϕ_{i}^{β} (\vec{r}) β (σ) & đối với điện tử có spin xuống (↓) \end{matrix}

i = 1, ..., N

{\bar{ψ}}_{k} (ξ_{h_{k}}) = \{\begin{matrix} {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (\vec{r}) α (σ) & đối với lỗ trống có spin lên (↑) \\ {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (\vec{r}) β (σ) & đối với lỗ trống có spin xuống (↓) \end{matrix}

k = 1, ..., M

Thay $\hat{H}$ và $Ψ$ vào biểu thức của E, tiến hành tính toán ta thu được:

\begin{matrix} E & = & \sum_{i = 1}^{N} \int ϕ_{i}^{*} ({\vec{r}}_{1}) h ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{i} ({\vec{r}}_{1}) d ({\vec{r}}_{1}) + \sum_{k = 1}^{M} \int {\bar{ϕ}}_{k}^{*} ({\vec{r}}_{1}) h^{'} ({\vec{r}}_{1}) {\bar{ϕ}}_{k} ({\vec{r}}_{1}) d ({\vec{r}}_{1}) \end{matrix}

\begin{matrix} + & \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{i, j = 1}^{N} \int | ϕ_{i} ({\vec{r}}_{1}) |^{2} \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} {| ϕ_{j} ({\vec{r}}_{2}) |}^{2} d ({\vec{r}}_{1}) d ({\vec{r}}_{2}) \\ - & \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{i, j = 1 ↑ ↑}^{N} \int ϕ_{i}^{*} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{j} ({\vec{r}}_{1}) \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} ϕ_{j}^{*} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{i} ({\vec{r}}_{2}) d ({\vec{r}}_{1}) d ({\vec{r}}_{2}) \\ + & \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{k, l = 1}^{M} \int | {\bar{ϕ}}_{k} ({\vec{r}}_{1}) |^{2} \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} {| {\bar{ϕ}}_{l} ({\vec{r}}_{2}) |}^{2} d ({\vec{r}}_{1}) d ({\vec{r}}_{2}) \\ - & \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{k, l = 1 ↑ ↑}^{M} \int {\bar{ϕ}}_{k}^{*} ({\vec{r}}_{1}) {\bar{ϕ}}_{l} ({\vec{r}}_{1}) \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} {\bar{ϕ}}_{l}^{*} ({\vec{r}}_{2}) {\bar{ϕ}}_{k} ({\vec{r}}_{2}) d ({\vec{r}}_{1}) d ({\vec{r}}_{2}) \\ - & \sum_{i = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{M} \int | ϕ_{i} ({\vec{r}}_{1}) |^{2} \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} {| {\bar{ϕ}}_{k} ({\vec{r}}_{2}) |}^{2} d ({\vec{r}}_{1}) d ({\vec{r}}_{2}) \end{matrix}

Trong đó kí hiệu $\sum^{'}$ là tương ứng cho các giá trị của $i \neq j$ , $k \neq l$

Viết dưới dạng khai triển theo $N_{α}, N_{β}, M_{α}, M_{β}$ với $N_{α}, M_{α}, N_{β}, M_{β}$ là số điện tử và lỗ trống có spin lên $(↑)$ và spin xuống $(↓)$ ( $N_{α} + N_{β} = N, M_{α} + M_{β} = M$ )

\begin{matrix} E = \sum_{i = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) | h (1) | ϕ_{i}^{α} (1)〉 + \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{i, j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{α} (2)〉 \\ + \sum_{i = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) | h (1) | ϕ_{i}^{β} (1)〉 + \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{i, j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{β} (2)〉 \\ + \sum_{k = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) | h^{'} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1)〉 + \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{k, l = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) ϕ_{l}^{α} (2)〉 \\ + \sum_{k = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) | h^{'} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1)〉 + \frac{1}{2} {\sum^{'}}_{k, l = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2)〉 \end{matrix}

\begin{matrix} + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N_{α}} \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{β} (2)〉 \\ + \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N_{β}} \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{α} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N_{α}} \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{α} (1) ϕ_{i}^{α} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N_{β}} \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{β} (1) ϕ_{i}^{β} (2)〉 \\ + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M_{α}} \sum_{l = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2)〉 \\ + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M_{β}} \sum_{l = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M_{α}} \sum_{l = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M_{β}} \sum_{l = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N_{α}} \sum_{k = 1}^{M} 〈ϕ_{i}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N_{β}} \sum_{k = 1}^{M} 〈ϕ_{i}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M_{α}} \sum_{i = 1}^{N} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) ϕ_{i} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) ϕ_{i} (2)〉 \\ - \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M_{β}} \sum_{i = 1}^{N} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) ϕ_{i} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) ϕ_{i} (2)〉 \end{matrix}

Từ đó ta có

\begin{matrix} E & = & \sum_{i = 1}^{N_{α}} {〈ϕ_{i}^{α} (1) | h (1) | ϕ_{i}^{α} (1)〉 + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{β} (2)〉 \\ + & \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{α} (2) ϕ_{i}^{α} (1)〉 \\ - & \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M} 〈ϕ_{i}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2) | \frac{1}{r_{12}} | ϕ_{i}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2)〉} \\ + & \sum_{i = 1}^{N_{β}} {〈ϕ_{i}^{β} (1) | h (1) | ϕ_{i}^{β} (1)〉 + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{α} (2)〉 \\ + & \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{β} (2) ϕ_{i}^{β} (1)〉 \\ - & \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{M} 〈ϕ_{i}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{i}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{k} (2)〉} \\ + & \sum_{k = 1}^{M_{α}} {〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) | h^{'} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1)〉 + \frac{1}{2} \sum_{l = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2)〉 \\ + & \frac{1}{2} \sum_{l = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1)〉 \\ - & \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) ϕ_{j} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) ϕ_{j} (2)〉} \\ + & \sum_{k = 1}^{M_{β}} {〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) | h^{'} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1)〉 + \frac{1}{2} \sum_{l = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2)〉 \\ + & \frac{1}{2} \sum_{l = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1)〉 \\ - & \sum_{j = 1}^{N} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) ϕ_{j} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) ϕ_{j} (2)〉} \end{matrix}

Biểu thức năng lượng của hệ có dạng

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} {\sum_{i = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) | h (1) | ϕ_{i}^{α} (1)〉 + \sum_{i = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{i}^{α} (1) | f^{α} (1) | ϕ_{i}^{α} (1)〉 \\ + \sum_{i = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) | h (1) | ϕ_{i}^{β} (1)〉 + \sum_{i = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{i}^{β} (1) | f^{β} (1) | ϕ_{i}^{β} (1)〉 \\ + \sum_{k = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) | h^{'} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1)〉 + \sum_{k = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) | {\bar{f}}^{α} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1)〉 \\ + \sum_{k = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) | h^{'} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1)〉 + \sum_{k = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) | {\bar{f}}^{β} (1) | {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1)〉} \end{matrix}

trong đó

\begin{matrix} f^{α} (1) = h (1) & + & \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{α} (2)〉 + \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{β} (2)〉 \\ - & \sum_{l = 1}^{M} 〈{\bar{ϕ}}_{l} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l} (2)〉, \\ f^{β} (1) = h (1) & + & \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{β} (2)〉 + \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{α} (2)〉 \\ - & \sum_{l = 1}^{M} 〈{\bar{ϕ}}_{l} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l} (2)〉 \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{f}}^{α} (1) = h^{'} (1) & + & \sum_{l = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2)〉 + \sum_{l = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2)〉 \\ - & \sum_{j = 1}^{N} 〈ϕ_{j} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j} (2)〉 \\ {\bar{f}}^{β} (1) = h^{'} (1) & + & \sum_{l = 1}^{M_{β}} 〈{\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{β} (2)〉 + \sum_{l = 1}^{M_{α}} 〈{\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l}^{α} (2)〉 \\ - & \sum_{j = 1}^{N} 〈ϕ_{j} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j} (2)〉, \end{matrix}

trong đó kí hiệu ${\hat{P}}_{12}$ là toán tử trao đổi biến (được đưa vào để tiện cho việc tính toán) ${\hat{P}}_{12} χ_{μ} (1) ϕ^{α} (2) = χ_{μ} (2) ϕ^{α} (1) .$

Lấy biến phân $δ E$ theo $ϕ_{i}^{α *} (1)$ (tính với chỉ số $α$ , các chỉ số khác tính tương tự), sau đó cho $δ E = 0$ , ta được

\begin{matrix} δ E = 〈 δ ϕ_{i}^{α} (1) | {h (1) + \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{α} (2)〉 \\ + \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{β} (2)〉 - \sum_{l = 1}^{M} 〈{\bar{ϕ}}_{l} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l} (2)〉} | ϕ_{i}^{α} (1) 〉 = 0 \end{matrix}

Từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng

$〈ϕ_{i}^{α} (1) | ϕ_{j}^{α} (1)〉 = δ_{i j}$ ta có $〈δ ϕ_{i}^{α} (1) | ϕ_{j}^{α} (1)〉 = 0$ với mọi $i, j$

Nhân thừa số $- λ_{i j}^{α}$ vào rồi lấy tổng theo $j$ :

- \sum_{j} λ_{i j}^{α} 〈δ ϕ_{i}^{α} (1) | ϕ_{j}^{α} (1)〉 = 0

Cộng với đẳng thức $δ E = 0$ , ta được

\begin{matrix} 〈 δ ϕ_{i}^{α} (1) | {h (1) + \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{α} (2)〉 + \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{β} (2)〉 \\ - \sum_{l = 1}^{M} 〈{\bar{ϕ}}_{l} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l} (2)〉} | ϕ_{i}^{α} (1) 〉 - \sum_{j} λ_{i j}^{α} 〈δ ϕ_{i}^{α} (1) | ϕ_{j}^{α} (1)〉 = 0 \end{matrix}

Vì ta có thể chọn ma trận $λ_{i j}$ là chéo, kí hiệu $λ_{i i}^{α} = ϵ_{i}^{α}$

\sum_{j} λ_{i j}^{α} | ϕ_{j}^{α} (1) 〉 = \sum_{j} ϵ_{i}^{α} δ_{i j} | ϕ_{j} (1) 〉 = ϵ_{i}^{α} | ϕ_{i}^{α} (1) 〉

nên

\begin{matrix} 〈 δ ϕ_{i}^{α} (1) | {h (1) & + & \sum_{j = 1}^{N_{α}} 〈ϕ_{j}^{α} (2) | \frac{e^{2} (1 - {\hat{P}}_{12})}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{α} (2)〉 + \sum_{j = 1}^{N_{β}} 〈ϕ_{j}^{β} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | ϕ_{j}^{β} (2)〉 \\ - & \sum_{l = 1}^{M} 〈{\bar{ϕ}}_{l} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{ϕ}}_{l} (2)〉 - ϵ_{i}^{α}} | ϕ_{i}^{α} (1) 〉 = 0 \end{matrix}

Bằng cách tương tự chúng ta nhận được phương trình Hartree - Fock cho hàm sóng tự hợp của điện tử và lỗ trống trong hệ nhiều Exciton ( $N$ điện tử và $M$ lỗ trống). Đây là phương trình tổng quát cần giải

\begin{matrix} \{h (1) + \sum_{j = 1}^{N_{α}} (J_{j}^{α} - K_{j}^{α}) + \sum_{j = 1}^{N_{β}} J_{j}^{β} - \sum_{l = 1}^{M} J_{l}^{h}\} ϕ_{i}^{α} (1) & = & ϵ_{i}^{α} ϕ_{i}^{α} (1) \\ \{h (1) + \sum_{j = 1}^{N_{β}} (J_{j}^{β} - K_{j}^{β}) + \sum_{j = 1}^{N_{α}} J_{j}^{α} - \sum_{l = 1}^{M} J_{l}^{h}\} ϕ_{i}^{β} (1) & = & ϵ_{i}^{β} ϕ_{i}^{β} (1) \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix} \{h^{'} (1) + \sum_{l = 1}^{M_{α}} ({\bar{J}}_{l}^{α} - {\bar{K}}_{l}^{α}) + \sum_{l = 1}^{M_{β}} {\bar{J}}_{l}^{β} - \sum_{j = 1}^{N} J_{j}^{e}\} {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) & = & {\bar{ϵ}}_{k}^{α} {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) \\ \{h^{'} (1) + \sum_{l = 1}^{M_{β}} ({\bar{J}}_{l}^{β} - {\bar{K}}_{l}^{β}) + \sum_{l = 1}^{M_{α}} {\bar{J}}_{l}^{α} - \sum_{j = 1}^{N} J_{j}^{e}\} {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) & = & {\bar{ϵ}}_{k}^{β} {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) \end{matrix}

trong đó $ϕ_{i}^{α, β} (1) \equiv ϕ_{i}^{α, β} ({\vec{r}}_{e_{1}})$ ${\bar{ϕ}}_{k}^{α, β} (1) \equiv {\bar{ϕ}}_{k}^{α, β} ({\vec{r}}_{h_{1}})$

và

J_{j}^{γ} ϕ_{i}^{γ^{'}} (1) = \frac{e^{2}}{ϵ} \int ϕ_{j}^{γ *} (2) ϕ_{j}^{γ} (2) \frac{d {\vec{r}}_{2}}{r_{12}} ϕ_{i}^{γ^{'}} (1) - số hạng tương tác đẩy Coulomb

$r_{12} = | {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2} |$ ; $γ, γ^{'} = α, β$

\begin{matrix} K_{j}^{γ} ϕ_{i}^{γ} (1) & = & \int ϕ_{j}^{γ *} (2) ϕ_{i}^{γ} (2) \frac{d \vec{r_{2}}}{r_{12}} ϕ_{j}^{γ} (1) \\ = & \frac{e^{2}}{ϵ} \int ϕ_{j}^{γ *} (2) \frac{d \vec{r_{2}}}{r_{12}} {\hat{P}}_{12} ϕ_{j}^{γ} (2) ϕ_{i}^{γ} (1), \end{matrix}

số hạng tương tác trao đổi hai hạt ở trạng thái có spin song song (cho điện tử)

Tương tự cho lỗ trống

{\bar{J}}_{l}^{γ} {\bar{ϕ}}_{k}^{γ^{'}} (1) = \frac{e^{2}}{ϵ} \int {\bar{ϕ}}_{l}^{γ *} (2) {\bar{ϕ}}_{l}^{γ} (2) \frac{d {\vec{r}}_{2}}{r_{12}} {\bar{ϕ}}_{k}^{γ^{'}} (1) - sè h¹ng t­¬ng t¸c ®Èy Coulomb

$r_{12} = | {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2} |$

\begin{matrix} {\bar{K}}_{l}^{γ} {\bar{ϕ}}_{k}^{γ} (1) & = & \frac{e^{2}}{ϵ} \int {\bar{ϕ}}_{l}^{γ *} (2) {\bar{ϕ}}_{k}^{γ} (2) \frac{d \vec{r_{2}}}{r_{12}} {\bar{ϕ}}_{l}^{γ} (1) \\ = & \frac{e^{2}}{ϵ} \int {\bar{ϕ}}_{l}^{γ *} (2) \frac{d \vec{r_{2}}}{r_{12}} {\hat{P}}_{12} {\bar{ϕ}}_{l}^{γ} (2) {\bar{ϕ}}_{k}^{γ} (1), \end{matrix}

số hạng tương tác trao đổi hai chuẩn hạt ở trạng thái có spin song song (cho lỗ trống).

Phương trình (30) được viết lại:

\begin{matrix} f^{α} (1) ϕ_{i}^{α} (1) & = & ϵ_{i}^{α} ϕ_{i}^{α} (1) i = 1, ..., N_{α} \\ f^{β} (1) ϕ_{i}^{β} (1) & = & ϵ_{i}^{β} ϕ_{i}^{β} (1) i = 1, ..., N_{β} \\ {\bar{f}}^{α} (1) {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) & = & {\bar{ϵ}}_{k}^{α} {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) k = 1, ..., M_{α} \\ {\bar{f}}^{β} (1) {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) & = & {\bar{ϵ}}_{k}^{β} {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) k = 1, ..., M_{β} \end{matrix}

2 Hình thức luận Roothaan

Trong hình thức luận Hartree - Fock - Roothaan chúng ta tìm $ϕ_{i}$ vµ ${\bar{ϕ}}_{k}$ dưới dạng khai triển theo hệ hàm cơ sở nào đó. Trong trường hợp chấm lượng tử hai chiều với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường ngoài ta có thể chọn hệ hàm cơ sở $χ_{ν}$ , ${\bar{χ}}_{ν}$ này là hệ hàm riêng của Hamiltonian đơn điện tử [link] và Hamiltonian đơn lỗ trống [link]

\begin{matrix} ϕ_{i}^{α} (1) & = & \sum_{ν} C_{ν i}^{α} χ_{ν} (1) \\ ϕ_{i}^{β} (1) & = & \sum_{ν} C_{ν i}^{β} χ_{ν} (1) \\ {\bar{ϕ}}_{k}^{α} (1) & = & \sum_{ν} {\bar{C}}_{ν k}^{α} {\bar{χ}}_{ν} (1) \\ {\bar{ϕ}}_{k}^{β} (1) & = & \sum_{ν} {\bar{C}}_{ν k}^{β} {\bar{χ}}_{ν} (1), \end{matrix}

bởi vì các hàm $χ_{ν}$ có thể giải được chính xác (xem phụ lục I):

\begin{matrix} χ_{ν} (\vec{r}) = χ_{n_{e} m_{e}} (r_{e}, ϕ_{e}) \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i m_{e} ϕ_{e}} \sqrt{\frac{2 n_{e}!}{(n_{e} + | m_{e} |)!}} α_{e} {(α_{e} r_{e})}^{| m_{e} |} e^{- \frac{{(α_{e} r_{e})}^{2}}{2}} L_{n_{e}}^{| m_{e} |} ({(α_{e} r_{e})}^{2}), \end{matrix}

với năng lượng riêng

ϵ_{n m} = Ω_{e} (2 n_{e} + | m_{e} | + 1) + \frac{1}{2} m_{e} ω_{c_{e}},

ở đó

\begin{matrix} α_{e} & = & \sqrt{m_{e}^{*} Ω_{e}}, \\ Ω_{e} & = & \sqrt{ω_{e}^{2} + \frac{1}{4} ω_{c_{e}}^{2}}, \\ ω_{c_{e}} & = & \frac{e B}{m_{e}^{*}} . \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{χ}}_{ν} (\vec{r}) = {\bar{χ}}_{n_{h} m_{h}} (r_{h}, ϕ_{h}) \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i m_{h} ϕ_{h}} \sqrt{\frac{2 n_{h}!}{(n_{h} + | m_{h} |)!}} α_{h} {(α_{h} r_{h})}^{| m_{h} |} e^{- \frac{{(α_{h} r_{h})}^{2}}{2}} L_{n_{h}}^{| m_{h} |} ({(α_{h} r_{h})}^{2}) . \end{matrix}

và năng lượng

ϵ_{n_{h} m_{h}} = Ω_{h} (2 n_{h} + | m_{h} | + 1) - \frac{1}{2} m_{h} ω_{c_{h}} .

với

\begin{matrix} α_{h} & = & \sqrt{m_{h}^{*} Ω_{h}}, \\ Ω_{h} & = & \sqrt{ω_{h}^{2} + \frac{1}{4} ω_{c_{h}}^{2}}, \\ ω_{c_{h}} & = & \frac{e B}{m_{h}^{*}} . \end{matrix}

Thay các biểu thức khai triển này vào phương trình trên (tính với chỉ số $α$ rồi sau đó tính tương tự cho các chỉ số còn lại) ta có:

\begin{matrix} f^{α} (1) \sum_{ν} C_{ν i}^{α} χ_{ν} (1) & = & ϵ_{i}^{α} \sum_{ν} C_{ν i}^{α} χ_{ν} (1), \\ \sum_{ν} C_{ν i}^{α} f^{α} (1) χ_{ν} (1) & = & ϵ_{i}^{α} \sum_{ν} C_{ν i}^{α} χ_{ν} (1) . \end{matrix}

Nhân hai vế phương trình trên về phía phải với $χ_{μ}^{*} (1)$ rồi lấy tích phân theo toàn bộ không gian $\int d {\vec{r}}_{1} χ_{μ}^{*} (1) ...$ và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hoá $〈χ_{μ} (1) | χ_{ν} (1)〉 = δ_{μ ν}$ ta thu được:

\begin{matrix} \sum_{ν} C_{ν i}^{α} 〈χ_{μ} (1) | f^{α} (1) | χ_{ν} (1)〉 = ϵ_{i}^{α} C_{μ i}^{α} \\ \sum_{ν} C_{ν i}^{β} 〈χ_{μ} (1) | f^{β} (1) | χ_{ν} (1)〉 = ϵ_{i}^{β} C_{μ i}^{β} . \end{matrix}

Tương tự cho lỗ trống:

\begin{matrix} \sum_{ν} {\bar{C}}_{ν k}^{α} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) | {\bar{f}}^{α} (1) | {\bar{χ}}_{ν} (1)〉 = {\bar{ϵ}}_{k}^{α} {\bar{C}}_{μ k}^{α} \\ \sum_{ν} {\bar{C}}_{ν k}^{β} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) | {\bar{f}}^{β} (1) | {\bar{χ}}_{ν} (1)〉 = {\bar{ϵ}}_{k}^{β} {\bar{C}}_{μ k}^{β} . \end{matrix}

Kí hiệu

\begin{matrix} F_{μ ν}^{α} & = & 〈χ_{μ} (1) | f^{α} (1) | χ_{ν} (1)〉 \\ F_{μ ν}^{β} & = & 〈χ_{μ} (1) | f^{β} (1) | χ_{ν} (1)〉 \\ {\bar{F}}_{μ ν}^{α} & = & 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) | {\bar{f}}^{α} (1) | {\bar{χ}}_{ν} (1)〉 \\ {\bar{F}}_{μ ν}^{β} & = & 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) | {\bar{f}}^{β} (1) | {\bar{χ}}_{ν} (1)〉, \end{matrix}

ta có

\begin{matrix} \sum_{ν} C_{ν i}^{α} F_{μ ν}^{α} = ϵ_{i}^{α} C_{μ i}^{α}, \\ \sum_{ν} C_{ν i}^{β} F_{μ ν}^{β} = ϵ_{i}^{β} C_{μ i}^{β}, \\ \sum_{ν} {\bar{C}}_{ν k}^{α} {\bar{F}}_{μ ν}^{α} = {\bar{ϵ}}_{k}^{α} {\bar{C}}_{μ k}^{α}, \\ \sum_{ν} {\bar{C}}_{ν k}^{β} {\bar{F}}_{μ ν}^{β} = {\bar{ϵ}}_{k}^{β} {\bar{C}}_{μ k}^{β} . \end{matrix}

hay

\begin{matrix} F^{α} C^{α} & = & ϵ^{α} C^{α}, \\ F^{β} C^{β} & = & ϵ^{β} C^{β}, \\ {\bar{F}}^{α} {\bar{C}}^{α} & = & {\bar{ϵ}}^{α} {\bar{C}}^{α}, \\ {\bar{F}}^{β} {\bar{C}}^{β} & = & {\bar{ϵ}}^{β} {\bar{C}}^{β} . \end{matrix}

Đây là phương trình Hartree-Fock dưới dạng ma trận cho hệ các điện tử và lỗ trống. Hệ phương trình này cho phép xác định các hệ số khai triển hàm sóng tự hợp của điện tử và lỗ trống $C_{ν i}$ vµ ${\bar{C}}_{ν k}$ . Giải hệ phương trình ma trận này bằng phương pháp chéo hoá ma trận ta tính được các hệ số $C_{ν i}$ vµ ${\bar{C}}_{ν k}$ và khi biết các hệ số này thì có nghĩa là ta đã tìm được hàm sóng của hệ.

Thay thế biểu thức từ (23) - (26) của $f^{α, β} (1)$ vµ ${\bar{f}}^{α, β} (1)$ vào công thức [link] ta tính và thu được biểu thức cuối cùng cho các yếu tố ma trận $F_{μ ν}^{α, β}$ và ${\bar{F}}_{μ ν}^{α, β}$ :

\begin{matrix} F_{μ ν}^{α} & = & 〈χ_{μ} (1) | h (1) | χ_{ν} (1)〉 + \sum_{λ, σ} P_{λ σ}^{T} 〈χ_{μ} (1) χ_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | χ_{ν} (1) χ_{λ} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} P_{λ σ}^{α} 〈χ_{μ} (1) χ_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | χ_{λ} (1) χ_{ν} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} {\bar{P}}_{λ σ}^{T} 〈χ_{μ} (1) {\bar{χ}}_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | χ_{ν} (1) {\bar{χ}}_{λ} (2)〉 \\ F_{μ ν}^{β} & = & 〈χ_{μ} (1) | h (1) | χ_{ν} (1)〉 + \sum_{λ, σ} P_{λ σ}^{T} 〈χ_{μ} (1) χ_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | χ_{ν} (1) χ_{λ} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} P_{λ σ}^{β} 〈χ_{μ} (1) χ_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | χ_{λ} (1) χ_{ν} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} {\bar{P}}_{λ σ}^{T} 〈χ_{μ} (1) {\bar{χ}}_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | χ_{ν} (1) {\bar{χ}}_{λ} (2)〉 \\ {\bar{F}}_{μ ν}^{α} & = & 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) | h^{'} (1) | {\bar{χ}}_{ν} (1)〉 + \sum_{λ, σ} {\bar{P}}_{λ σ}^{T} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) {\bar{χ}}_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{χ}}_{ν} (1) {\bar{χ}}_{λ} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} {\bar{P}}_{λ σ}^{α} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) {\bar{χ}}_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{χ}}_{λ} (1) {\bar{χ}}_{ν} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} P_{λ σ}^{T} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) χ_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{χ}}_{ν} (1) χ_{λ} (2)〉 \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{F}}_{μ ν}^{β} & = & 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) | h^{'} (1) | {\bar{χ}}_{ν} (1)〉 + \sum_{λ, σ} {\bar{P}}_{λ σ}^{T} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) {\bar{χ}}_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{χ}}_{ν} (1) {\bar{χ}}_{λ} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} {\bar{P}}_{λ σ}^{β} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) {\bar{χ}}_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{χ}}_{λ} (1) {\bar{χ}}_{ν} (2)〉 \\ - & \sum_{λ, σ} P_{λ σ}^{T} 〈{\bar{χ}}_{μ} (1) χ_{σ} (2) | \frac{e^{2}}{ϵ r_{12}} | {\bar{χ}}_{ν} (1) χ_{λ} (2)〉, \end{matrix}

trong đó

\begin{matrix} P_{λ σ}^{T} = P_{λ σ}^{α} + P_{λ σ}^{β} {\bar{P}}_{λ σ}^{T} = {\bar{P}}_{λ σ}^{α} + {\bar{P}}_{λ σ}^{β} \\ P_{λ σ}^{α} = P_{σ λ}^{α} = \sum_{i = 1}^{N_{α}} C_{λ i}^{α} C_{σ i}^{α *} P_{λ σ}^{β} = P_{σ λ}^{β} = \sum_{i = 1}^{N_{β}} C_{λ i}^{β} C_{σ i}^{β *} \\ {\bar{P}}_{λ σ}^{α} = {\bar{P}}_{σ λ}^{α} = \sum_{k = 1}^{M_{α}} {\bar{C}}_{λ k}^{α} {\bar{C}}_{σ k}^{α *} {\bar{P}}_{λ σ}^{β} = {\bar{P}}_{σ λ}^{β} = \sum_{k = 1}^{M_{β}} {\bar{C}}_{λ k}^{β} {\bar{C}}_{σ k}^{β *}, \end{matrix}

với $μ, ν, λ, σ \equiv {n, m}$ là số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của điện tử hoặc lỗ trống.

3 Biểu thức năng lượng của hệ

Năng lượng cơ bản của hệ nhiều điện tử và lỗ trống được tính theo biểu thức [link]. Thay các biểu thức của (32) vào (22) và sử dụng các công thức (23) - (26), (39) và (41) - (44) ta thu được biểu thức của năng lượng $E$ biểu diễn qua các yếu tố ma trận $F_{ν μ}^{α}, F_{ν μ}^{β}, {\bar{F}}_{ν μ}^{α}, {\bar{F}}_{ν μ}^{β}$ như sau

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} \sum_{μ, ν} \{P_{μ ν}^{T} h_{ν μ} + P_{μ ν}^{α} F_{ν μ}^{α} + P_{μ ν}^{β} F_{ν μ}^{β} + {\bar{P}}_{μ ν}^{T} h_{ν μ}^{'} + {\bar{P}}_{μ ν}^{α} {\bar{F}}_{ν μ}^{α} + {\bar{P}}_{μ ν}^{β} {\bar{F}}_{ν μ}^{β}\} \\ = \frac{1}{2} \sum_{μ, ν} \{δ_{μ ν} P_{μ ν}^{T} [Ω_{e} (2 n + | m | + 1) + m ω_{c_{e}}] + P_{μ ν}^{α} F_{ν μ}^{α} + P_{μ ν}^{β} F_{ν μ}^{β}\} \\ + \frac{1}{2} \sum_{μ, ν} \{δ_{μ ν} {\bar{P}}_{μ ν}^{T} [Ω_{h} (2 n + | m | + 1) - m ω_{c_{h}}] + {\bar{P}}_{μ ν}^{α} {\bar{F}}_{ν μ}^{α} + {\bar{P}}_{μ ν}^{β} {\bar{F}}_{ν μ}^{β}\} \end{matrix}

trong đó $h_{ν μ} \equiv 〈χ_{ν} (1) | h (1) | χ_{μ} (1)〉$ $h_{ν μ}^{'} \equiv 〈{\bar{χ}}_{ν} (1) | h^{'} (1) | {\bar{χ}}_{μ} (1)〉$ .

Công thức [link] là công thức tổng quát cho phép ta tính năng lượng cơ bản của hệ với số điện tử và lỗ trống tuỳ ý. Các tham số của bài toán như độ lớn của thế giam cầm (và tỷ lệ với nó là bán kính của chấm lượng tử), độ lớn của từ trường ngoài cũng như các thông số của vật liệu như khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống, hằng số điện môi,...được biểu diễn gián tiếp, không tường minh qua các yếu tố ma trận.

Áp dụng cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm Parabolic

Phương trình Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử và lỗ trống

2 Hình thức luận Roothaan

3 Biểu thức năng lượng của hệ