Bài toán đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường

Hamiltonian của điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường có dạng

H = \frac{1}{2 m_{e}^{*}} {(\vec{p} + e \vec{A})}^{2} + \frac{m_{e}^{*} ω_{e}^{2} r^{2}}{2} .

Lấy trong đơn vị $ℏ = c = 1 .$

Từ trường dọc theo trục z $\vec{B} = (0, 0, B),$

$m_{e}^{*}$ là khối lượng hiệu dụng của điện tử,

$ω_{e}$ đặc trưng cho thế giam cầm lượng tử,

Chọn đối xứng gauss

$\vec{A} = \frac{1}{2} [\vec{B} \to \vec{r}] = \frac{1}{2} B (- y, x, 0) .$

Ta có

\vec{A} \vec{p} = \vec{p} \vec{A} = \frac{1}{2} B (- y p_{x} + x p_{y}) = \frac{1}{2} B l_{z},

r^{2} = x^{2} + y^{2}

A^{2} = B^{2} (x^{2} + y^{2}) = B^{2} r^{2},

Hamiltonian viết lại thành

\begin{matrix} \hat{H} & = & \frac{1}{2 m_{e}^{*}} (p^{2} + e (\vec{p} \vec{A} + \vec{A} \vec{p}) + e^{2} A^{2}) + \frac{m_{e}^{*} ω_{e}^{2} r^{2}}{2} \\ \hat{H} & = & \frac{p^{2}}{2 m_{e}^{*}} + \frac{e B l_{z}}{2 m_{e}^{*}} + \frac{e^{2} B^{2} r^{2}}{2 m_{e}^{*}} + \frac{m_{e}^{*} ω_{e}^{2} r^{2}}{2} . \end{matrix}

Đặt $ω_{c_{e}} = \frac{e B}{m_{e}^{*}}$ với $ω_{c_{e}}$ là tần số cyclotron.

{\hat{H}}_{e} = \frac{p^{2}}{2 m_{e}^{*}} + \frac{1}{2} m_{e}^{*} (ω_{e}^{2} + \frac{ω_{c_{e}}}{4}) r^{2} + \frac{1}{2} ω_{c_{e}} l_{z} .

Đặt $O_{e}^{2} = ω_{e}^{2} + \frac{ω_{c_{e}}^{2}}{4}$

Trong toạ độ cực $\{\begin{matrix} x = r c o s (ϕ) \\ y = r s i n (ϕ) \end{matrix} .$

p^{2} = - (\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial ϕ})

l_{z} = - i \frac{\partial}{\partial ϕ} .

Hamiltonian trong hệ trong tọa độ cực bây giờ là

H_{e} = - \frac{1}{2 m_{e}^{*}} (\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial ϕ}) + \frac{1}{2} m_{e}^{*} Ω_{e}^{2} r^{2} - \frac{i}{2} ω_{c_{e}} \frac{\partial}{\partial ϕ} .

Ta đi tìm hàm riêng $Ψ_{n m} (r, ϕ) = Φ_{m} (ϕ) R_{n m} (r)$ có dạng

Ta thấy ngay nghiệm $Φ_{m} (ϕ)$ có dạng

Φ_{m} (ϕ) = C e^{i m ϕ}

C là hệ số chuẩn hóa

\int_{0}^{2 π} {| Φ_{m} (ϕ) |}^{2} d ϕ = C^{2} \int_{0}^{2 π} e^{i m ϕ} e^{- i m ϕ} = 1

\to C = \frac{1}{\sqrt{2 p}} .

Do đó

Φ_{m} (ϕ) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i m ϕ} .

$m$ là số lượng tử momen góc $l_{z} Φ_{m} (ϕ) = m Φ_{m} (ϕ) .$

Do đó phương trình cho $R_{n m} (r)$ có dạng

[\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} - \frac{m^{2}}{r^{2}} - m_{e}^{* 2} Ω_{e}^{2} r^{2} - m_{e}^{*} ω_{c_{e}} m + 2 m_{e}^{*} ϵ_{n m}] R_{n m} (r) = 0 .

Ta tìm nghiệm $R_{n m} (r) = χ_{n m} (r) r^{| m |}$

Thay vào phương trình trên ta được

χ_{n m}^{''} (r) + (2 | m | + 1) \frac{χ_{n m}^{'} (r)}{r} + (- m_{e}^{* 2} Ω_{e}^{2} r^{2} - m_{e}^{*} ω_{c_{e}} m + 2 m_{e}^{*} ϵ_{n m}) χ_{n m} (r) = 0 .

Đặt $ξ = r^{2},$

ta lại được phương trình

4 ξ χ_{n m}^{''} (ξ) + 4 (| m | + 1) χ_{n m}^{'} (ξ) + (- m_{e}^{* 2} Ω_{e}^{2} ξ - m_{e}^{*} ω_{c_{e}} m + 2 m_{e}^{*} ϵ_{n m}) χ_{n m} (ξ) = 0 .

Đặt $η = m_{e}^{*} Ω_{e} ξ,$

η χ_{n m}^{''} (η) + (| m | + 1) χ_{n m}^{'} (η) - \frac{η}{4} χ_{n m} (η) + (\frac{ϵ_{n m}}{2 Ω_{e}} - \frac{m}{4} \frac{ω_{c_{e}}}{Ω_{e}}) χ_{n m} (η) = 0 .

Đặt $χ_{n m} (η) = L (η) e^{(- \frac{1}{2} η)},$ và chúng ta có phương trình

η L^{''} (η) + (| m | + 1 - η) L^{'} (η) + [- \frac{1}{2} (| m | + 1) - \frac{m}{4} \frac{ω_{c_{e}}}{Ω_{e}} + \frac{ϵ_{n m}}{2 Ω_{e}}] L (η) = 0 .

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm (điều kiện lượng tử )

- \frac{(| m | + 1)}{2} - \frac{m}{4} \frac{ω_{c_{e}}}{Ω_{e}} + \frac{ϵ_{n m}}{2 Ω_{e}} = n n phải là số nguyên

do đó ta tính được $ϵ_{n m}$

ϵ_{n m} = 2 Ω_{e} [n + \frac{| m | + 1}{2} + \frac{m}{4} \frac{ω_{c_{e}}}{Ω_{e}}]

Vậy ta phương trình

η L^{''} η + (| m | + 1 - η) L^{'} (η) + n L (η) = 0

Đây là phương trình cho đa thức Laguerre

L (η) \equiv L_{n}^{| m |} (η) n là số nguyên

Vậy ta có nghiệm $R_{n m} (r)$

\begin{matrix} R_{n m} (r) & = & χ_{n m} (r) r^{| m |} \\ = & L_{n}^{| m |} (η) e^{- \frac{1}{2} η} r^{| m |} \\ = & L_{n}^{| m |} (m_{e}^{*} Ω_{e} ξ) e^{- \frac{1}{2} m_{e}^{*} Ω_{e} ξ} r^{| m |} \\ = & L_{n}^{| m |} (m_{e}^{*} Ω_{e} r^{2}) e^{- \frac{1}{2} m_{e}^{*} Ω_{e} r^{2}} r^{| m |} \end{matrix}

Với hệ số chuẩn hóa A

R_{n m} (r) = A r^{| m |} e^{- \frac{1}{2} m_{e}^{*} O_{e} r^{2}} L_{n}^{| m |} (m_{e}^{*} O_{e} r^{2})

Đặt $a_{e} = \sqrt{m_{e}^{*} O_{e}}$

Điều kiện chuẩn hóa

\int_{0}^{\infty} r d r {| R_{n m} (r) |}^{2} = 1

\begin{matrix} 1 & = & A^{2} \frac{1}{2 α_{e}^{2 (| m | + 1)}} \int_{0}^{\infty} y^{| m |} e^{- y} L_{n}^{| m |} (y) d y \\ = & A^{2} \frac{1}{2 α_{e}^{2 (| m | + 1)}} \frac{(n + | m |)!}{n!} \\ \to A & = & \sqrt{\frac{2 n!}{(n + | m |)!}} α_{e}^{| m | + 1} \end{matrix}

Vậy ta có hàm sóng của điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường

Ψ_{n_{e} m_{e}} (r_{e} ϕ_{e}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i m_{e} ϕ_{e}} \sqrt{\frac{2 n_{e}!}{(n_{e} + | m_{e} |)!}} α_{e} {(α_{e} r_{e})}^{| m_{e} |} e^{- \frac{{(α_{e} r_{e})}^{2}}{2}} L_{n_{e}}^{| m_{e} |} ({(α_{e} r_{e})}^{2})

Với năng lượng riêng

ϵ_{n m} = Ω_{e} (2 n_{e} + | m_{e} | + 1) + \frac{1}{2} m_{e} ω_{c_{e}}

trong đó

\begin{matrix} α_{e} & = & \sqrt{m_{e}^{*} Ω_{e}} \\ Ω_{e} & = & \sqrt{ω_{e}^{2} + \frac{1}{4} ω_{c_{e}}^{2}} \\ ω_{c_{e}} & = & \frac{e B}{m_{e}^{*}} \end{matrix}

Một cách giải hoàn toàn tương tự ta có hàm sóng của lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường

Ψ_{n_{h} m_{h}} (r_{h} ϕ_{h}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{i m_{h} ϕ_{h}} \sqrt{\frac{2 n_{h}!}{(n_{h} + | m_{h} |)!}} α_{h} {(α_{h} r_{h})}^{| m_{h} |} e^{- \frac{{(α_{h} r_{h})}^{2}}{2}} L_{n_{h}}^{| m_{h} |} ({(α_{h} r_{h})}^{2})

Với năng lượng riêng

ϵ_{n m} = Ω_{h} (2 n_{h} + | m_{h} | + 1) - \frac{1}{2} m_{h} ω_{c_{h}}

trong đó

\begin{matrix} α_{h} & = & \sqrt{m_{h}^{*} Ω_{h}} \\ Ω_{h} & = & \sqrt{ω_{h}^{2} + \frac{1}{4} ω_{c_{h}}^{2}} \\ ω_{c_{h}} & = & \frac{e B}{m_{h}^{*}} \end{matrix}

Hệ hàm cơ sở mà ta chọn là hàm sóng của một điện tử và một lỗ trống trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabolic đặt trong từ trường. Từ hệ hàm cơ sở này ta có thể tính các yếu tố ma trận của các đại lượng vật lý mà ta quan tâm.

Phụ lục I

Bài toán đơn điện tử trong chấm lượng tử dạng đĩa với thế giam cầm parabol đặt trong từ trường