Tập mờ( Fuzzy set)

Trở lại với các kiểu định nghĩa về tập hợp (set) . Chúng ta đã biết là có hai kiểu định nghĩa tập hợp:

Phương pháp lệt kê tất cả các phần tử thuộc tập hợp đó. Ví dụ tập số nguyên nhỏ hơn 10 là tập: N=1,2,3,4,5,6,7,8,9

Phương pháp mô tả thông qua vị từ đặc trưng( characteurstic predicate)

P_A: U $\to$ {0,1}

X ∈ U $\Rightarrow$ P_A(x)

Trực quan	Trừu tượng
A ∩ B	P_A ⋀ P_A
A ∪ B	P_A ⋁ P_A
A \B	P_A⋀ $\begin{matrix} \neg \end{matrix}$ P_B
A =B	P_A ⇔ P_B

Mở rộng: $μ_{\tilde{A}} \to [0,1]$

:x $0 \leq μ_{\tilde{A}} (x) \leq 1$

Vậy khi có tập mờ $\tilde{A}$ : thì $μ_{\tilde{A}} (x)$ gọi là độ thuộc của x vào $\tilde{A}$

Hàm thuộc

là hàm do người quan sát cung cấp (subjective opinon).

Mờ hoá:

Với mọi mọi giá trị ngôn ngữ ta gán một tập mờ

Các phép toán trên tập mờ

Cho tập nền ( tập vũ trụ ) U ( Universer Set)

Một tập mờ $\tilde{A}$ trên U được một mô tả bởi hàm thuộc ( mebership function)

$μ_{A} : U \to [0,1]$

S= {x/ $μ_{A} (x) > 0$ } Tập giá đỡ

K={x/ $μ_{A} (x) = 1$ } Tập core

A_α = {x | μ_A ≥ α}

Một số dạng thường gặp:

Dạng 1:

Dạng 2

$\tilde{A}$ = (a, b, c, d)

Tập mờ $\tilde{A}$ không phải là tập theo nghĩa thông thường nên quan niệm $\tilde{A}$ phải định nghĩa theo hàm thuộc. Do đó không biểu diễn bằng biểu đồ Ven mà biểu biểu diễn bằng đồ thị

Hợp của các tập mờ

Cho hai tập mờ A, B với $μ_{A}$ và $μ_{B}$ là hai hàm thuộc tương ứng

Từ đó ta xây dựng

Lấy tất cả phần trên của đồ thị

Khi đó hợp của hai tập mờ là một tập rõ

Bây giờ ta lấy toàn bộ phần dưới.

Các tính chất:

$\tilde{A} = {(a, 0 . 1), (b, 0 . 2), (c, 0 . 3), (d, 0 . 4)}$

- L. Zadel (max, min, 1-)

MỞ RỘNG PHÉP TOÁN TẬP MỜ

- Hàm s là t – conorm :

- Hàm t là t – norm :

Hàm t – conorm thỏa mãn các tính chất :
s : [0, 1] x [0, 1] → [0, 1]
Hàm t – norm thỏa mãn các tính chất :

→ Kiểm tra :

1. Giao hoán : hiển nhiên

2. Kết hợp :

Hàm s :

Hàm t :

→ hiển nhiên

3. Tính chất cuối :

Hàm negation :

Hàm 1 – x

- Bộ ba : (s, t, n) → thích hợp khi :

s (x, t (y, z)) = t (s (x, y), s (x, z))
t (x, s (y, z)) = s (t (x, y), t (x, z))
n ( s (x, y)) = t (n (x), n (y))
n ( t (x, y)) = s (n (x), n (y))

Biểu diễn tri thức mờ

Dạng luật If X1 = v1 và X2 = v2 và ... và Xn = vn then Y = v
v_i , v : là giá trị ngôn ngữ.
Mờ hóa

*) xét X = A → Y = B

- Logic kinh điển :

A → B ≡ $\overset{ˉ}{A}$ B

U = {x₁, ... x_n} = tập vũ trụ/nền của A

V = {y₁, ... y_n} = tập vũ trụ/nền của B

Luật mờ ≡ quan hệ mờ ≡ tập mờ trên U x V

+ Luật mờ → vectơ : A ~ μ_A

+ Tập mờ → ma trận

If X = x1 then Y = y1 μ11
    ......
    If X = x2 then Y = ym μ1m
    ......
    If X = xn then Y = y1 μn1
    ......
    If X = xn then Y = ym μnm

→ ma trận n x m.

→ từ một luật X = A → Y = B, ta có n x m luật, mỗi luật có độ chắc chắn nào đó ( có khoảng 37 cách khác nhau)

- Nguyên tắc tính : μ_ij= s (n (μ_i^A_{, μ_j^B₎₎}

- Nếu có 1 luật :

If x = V then Y = U

→ Ma trận :

- Ngyên tắc tính khác :

- Nếu có nhiều luật :

μ_ijR = min (μ_iR , μ_jR)

Xét X = A → Y = B

A = (0.1, 0.3, 0.6)

B = (0.1, 0.3, 0.2)

Min
0.1	0.1	0.1
0.3	0.2	0.2
0.6	0.3	0.2

Product
0.07	0.03	0.02
0.21	0.03	0.06
0.42	0.18	0.12

(...)
0.9	0.9	0.9
0.7	0.7	0.7
0.7	0.4	0.4

Tri thức mờ ≡ Luật mờ

Quan hệ mờ giữa U₁ ... U_n và V :

Tập mờ trên U₁ x U₂ x ... x U_n x V

If X = A then Y = B

R_B/A tập mờ trên U x V $\Leftrightarrow$ $μ_{B / A} : U x V \to [0, 1]$

⋁ max s(x,y)

⋀ min t(x,y)

– 1 – x n (x)

(kéo theo) $\Rightarrow max (1 - μ_{A}, μ_{B})$

Suy diễn mờ (Fuzzy Inference)

Biết :

GT (giả thiết) = ${U_{1} = {\tilde{C}}_{1}, U_{2} = {\tilde{C}}_{2}, . . ., U_{l} = {\tilde{C}}_{l}}$

Cần xác định :

KL (kết luận) = ${V_{1} = {\tilde{D}}_{1}, V_{2} = {\tilde{D}}_{2}, . . ., V_{k} = {\tilde{D}}_{k}}$

$\Rightarrow$ Suy diễn : làm thế nào xác định được $μ_{D_{1}}, μ_{D_{2}}, . . ., μ_{D_{k}}$ ?

Bài toán : Cho một số luật → có thể tạo ra hình thức để duyệt luật không vét cạn hay không ?
+ Heuristic (TTNT)

+ GT di truyền.
Suy diễn mờ = áp dụng liên tiếp nhiều lần Modus Ponen (Fred Forward)
1. If X = A₁ then Y = B₁
2. If X = A₂ then Y = B₂
3. If X = B₃ then Z = C₃
4. If X = B₄ then Z = C₄
5. If X = A₅ then Z = C₅
6. If X = A₆ then Y = B₁
7. If X = A₁ Y = B₆ then Z = C₇ (bỏ qua luật này chưa xét)
Tập nền X : U = {1, 2, 3}

Tập nền Y : V = {A, b}

Tập nền Z : W = {+, –}

x = A₀ = (0.6, 0.2, 0.1)
Áp dụng nguyên tắc min :

Chứng minh :

...

Tổng kết :

Biểu diễn tập mờ → chỉ số mờ & thao tác
Nghiên cứu về : t – norm :
t – conorm :

n(.) : not

₣ (x, y) : $\Rightarrow$
Mâu thuẫn :
+ Tường minh

+ Không tường minh

( chưa có trong TLTK $\Rightarrow$ tự tìm hiểu )
Dư thừa (trong tập luật)
Duyệt / Áp dụng không vét cạn.
Lựa chọn thể hiện phép toán phù hợp.
Suy diễn thao tác trực tiếp (Linguistic Reasoning)

Biểu diễn tri thức bằng Logic mờ và suy diễn

Tập mờ( Fuzzy set)

Các phép toán trên tập mờ

Biểu diễn tri thức mờ

Suy diễn mờ (Fuzzy Inference)