Chúng ta đã đi qua một bước chuẩn bị tương đối dài để đi đến các Định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ. Các định lý này sẽ giải quyết vấn đề trọng tậm của lý thuyết xấp xỉ. Vấn đề này được đặt ra như sau:
(i) Xác định tốc độ xấp xỉ khi biết độ trơn của hàm số
.
(ii) Xác định độ trơn theo tốc độ hội tụ của
.
Khi
, ta có hai định lý sau
Định lý 0.1
(Jackson (1912)) Nếu
, thì
Định lý 0.2
(Bernstein) Nếu tồn tại
sao cho
thì
Các Định lý này sẽ được chứng minh trong các mục sau. Từ hai khẳng định trên ta suy ra
Các định lý thuận
Do đó
(4.2)
Bây giờ ta xét nhân Jackson
cho bởi
Rõ ràng các nhân Jackson tổng quát là các đa thức lượng giác bậc
, không âm, chẵn. Ta ký hiệu
nếu tồn tại các hằng số
,
và
sao cho
Bổ đề 1.1
Với
, ta có
(i)
Định lý 1.2
(Jackson)
Tồn tại hằng số
sao cho
(4.6)
(4.6)
Ta sẽ chứng minh
là đa thức lượng giác bậc
. Để làm điều này ta cần bổ đề sau
Bổ đề 1.3
Cho hàm
là hàm tuần hoàn chu kỳ
,
là số nguyên dương. Khi đó nếu
không chia hết cho
, thì
Vì răng
không chia hết cho
nên
, do đó ta có kết quả trên.
Từ định nghĩa của sai phân ta đã suy ra
Nhưng
là đa thức lượng giác chẵn, nên
là tổ hợp tuyến tính của các tích phân dạng
Vì
là hàm tuần hoàn chu kỳ
, nên theo Bổ đề trên (1.8) chỉ khác
khi
chia hết cho k. Khi đó chỉ cần đổi biến
và áp dụng công thức cộng cung của hàm số
, ta sẽ nhận được
là một đa thức lượng giác bậc
Định lý 1.4
(Steckhin [1951])
Với
, tồn tại hằng số
sao cho
(4.9)
Proof. Ta có
(tính chất của modul trơn). Sử dụng bất đẳng thức Minkowski,
bất đẳng thức cuối cùng có được do Bổ đề 4.1.1
Hệ quả 1.5
Nếu
, thì
Hệ quả 1.6
Nếu
,
, thì
Giả sử
. Ta nói
có giá trị trung bình bằng không nếu
thì suy ra
Ta có
(4.11)
Từ (1.11) ta có bổ đề sau
Bổ đề 1.7
Proof. Gọi
là xấp xỉ tốt nhất của
, và
là tích phân tuần hoàn của
. Do
có giá trị trung bình không nên kết hợp (1.11) với Định lý Jackson ta có
Bằng cách lặp lại quá trình chứng minh trong bổ đề
lần ta thu được kết quả sau:
Hệ quả 1.8
(4.12)
Ta kết thúc mục này bằng nhận xét sau:
Nhận xét 1.9
Các cận trên của sai số xấp xỉ
thường viết ở một trong các dạng sau:
Từ các tính chất của modul trơn ta có
(chứng minh xem như một bài tập).
Xấp xỉ đồng thời
Dưới đây chúng ta sẽ xấp xỉ đồng thời
và các đạo hàm
,
, bởi
và các đạo hàm
.
Bổ đề 2.1
Cho
,
, hoặc
và đa thức lượng giác
thoả mãn
Khi đó ta có
Proof. Đặt
, ta có
Mặt khác sử dụng khai triển thành chuỗi Taylor của
và sử dụng bất đẳng thức Bernstien ta có
Từ đây ta suy ra khẳng định trên.
Từ bổ đề trên ta đi đến định lý về xấp xỉ đồng thời
Định lý 2.2
(Czipszer và Freud [1958]) Cho
, và
là đa thức xấp xỉ tốt nhất của
. Khi đó
Proof. Định lý được chứng minh bằng quy nạy theo
.
Nếu
, thì hiển nhiên
. Do
là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất
, nên định lý đúng với
.
Giả sử định lý đúng với
, ta chứng minh định lý đúng với
. Giả sử
, ký hiệu
là đa thức xấp xỉ tốt nhất
, và
là tích phân tuần hoàn của
,(
là hạng tử tự do của
). Sử dụng (1.11) và giả thiết quy nạp ta có
Gọi
là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất
. Khi đó ta có
, và
trong đó bất đẳng thức thứ nhất là do Bổ đề 4.2.1, bất đẳng thức thứ hai là do bất đẳng thức Minkowski ( cụ thể hơn là tính chất của modul trơn), bất đẳng thức cuối cùng là do giả thiết quy nạp với
.
Sử dụng bất đẳng thức Bernstein và Hệ quả 4.1.8 ta có
Ta có
và hơn nữa với
,
Vậy định lý được chứng minh.
Nhựơc điểm của bất đẳng thức trên là đa thức xấp xỉ tốt nhất hiếm khi biết. Tuy nhiên, chúng ta cũng có cách khắc phục như sau:
Định lý 2.3
Cho
và
thoả mãn
Khi đó ta có, với
và
Proof. Gọi
là đa thức xấp xỉ tốt nhất
. Ta có
Sử dụng bất đẳng thức Bernstein và Định lý 4.2.2 ta có
Bất đẳng thức thứ hai của định lý được suy ra rừ Bổ đề 4.2.1 và bất đẳng thức thứ nhất với
. Vậy định lý được hoàn toàn chứng minh.
Các định lý ngược
Trong mục các Định lý thuận ta đã ước lượng các sai số xấp xỉ
thông qua modul trơn. Trong phần này chúng ta sẽ ước lượng ngược lại, tức là ước lượng các modul trơn thông qua sai số xấp xỉ.
Định lý 3.1
Cho
,
,
. Khi đó tồn tại hằng số
sao cho
Proof. Giả sử
là đa thức xấp xỉ tốt nhất f. Khi đó với
, và
, ta có
(4.14)
Ta có
và
Với mỗi
, ta chọn
sao cho
Khi đó, từ bất đẳng thức (3.14) và (3.15), ta suy ra (3.13) với vế phải cộng thêm
Lặp lại quá trình trên với
, với
là hằng xấp xỉ tốt nhất
, ta suy ra (3.13) đúng với
.
Vậy định lý được chứng minh.
Đặc biệt khi
, ta có
Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để một hàm thuộc
:
Định lý 3.2
Nếu hàm
,
, thoả mãn điều kiện
thì
Proof. Gọi
là đa thức xấp xỉ tốt nhất
, ta có
Từ bất đẳng thức Bernstein ta có
Vì vậy
là dãy Cauchy trong
. Do
là không gian Bannach và
trong
, nên
Từ Định lý 4.3.1 ta suy ra:
Hệ quả 3.3
Nếu
(4.17)
thì
Đặt
thoả mãn
, vì vậy từ (3.17) suy ra
Kết hợp với Hệ quả 4.1.6 ta có
Định lý 3.4
Với
,
, hệ thức
tương đương với
Ví dụ 3
tương đương với
. Tuy nhiên không
suy ra
, với
Xấp xỉ bằng đa thức đại số
Cho
. Sai số xấp xỉ tốt nhất
bởi
được cho bởi
Không mất tổng quát ta xét
, nếu không thì ta dùng một phép thế tuyến tính đưa
về
. Chúng ta sẽ ước lượng
thông qua modul trơn, (định lý thuận). Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Vì tại gần các điểm cuối
có các quy tắc đặc biệt trong xấp xỉ. Ví dụ một hàm
có thể được xấp xỉ tốt hơn khi
gần
Định lý 4.1
Cho
,
,
,
Khi đó sai số xấp xỉ thoả mãn
Proof. Định lý được chứng minh bởi các bước sau:
Bước 1. Ta chứng minh với
,
(4.18)
Đặt
và
. Khi đó
là hàm chẵn, và
vì
Gọi
là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất
. Theo hệ quả của Định lý thuận, ta có
Vì
là hàm chẵn nên
cũng là hàm chẵn, do đó tồn tại
sao cho
Ta có
(4.18).
Bước 2 Ta chứng minh
(4.19)
Với
, ta có
do đó
.
Bước 3 Ta chứng minh, với
,
:
(4.20)
Giả sử
là một đa thức xấp xỉ tốt nhất
. Gọi
là một tích phân của
. Ta có
Từ (4.19) và (4.20) ta suy ra định lý bằng cách lặp lại
lần các bước trên.
Định lý 4.2
Cho
. Khi đó tồn tại hằng số
sao cho: với
,
Proof. Giả sử
. Ta có
Vì vậy với
, ta có
Nhận xét 4.3
(i) Không có bất đẳng thức đảo đối với Định lý 4.4.2.
(ii) Tuy nhiên khi
Ta có
Nhưng bất đẳng thức này không đúng cho
!
Bài tập
Bài tập 1
Chứng minh nhân Jackson tổng quát
(xem mục 4.1) là đa thức lượng giác không âm, chẵn, có bậc
Bài tập 2
Cho
. Chứng minh rằng
Bài tập 3
Chứng minh rằng
(Nhận xét 4.1.9)