Các định lý thuận

$\mathrm{Pf}-L_n(f)P_p{\mathrm{C\omega }}_2(f,n^{-1}{)}_p\text{.}$

Do đó

$E_n(f{)}_p{\mathrm{C\omega }}_2(f,n^{-1}{)}_p\text{.}$ (4.2)

Bây giờ ta xét nhân Jackson $K_n(t)$ cho bởi

Rõ ràng các nhân Jackson tổng quát là các đa thức lượng giác bậc $n$, không âm, chẵn. Ta ký hiệu $A_n\copyright B_n,n\to \infty ,$ nếu tồn tại các hằng số $C$, $C^{\text{'}}$ và $n_0$ sao cho

${\text{CB}}_n{A}_n{C}^{\text{'}}{B}_n,n\ge n_0\text{.}$

Bổ đề 1.1 Với $r\text{=1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$ , ta có

(i) ${\lambda }_{n,r}\copyright n^{-\mathrm{2r}+1},n\to \infty \text{.}$

Định lý 1.2 (Jackson)

Tồn tại hằng số $C$ sao cho

$\mathrm{Pf}-J_n(f)P_p{\mathrm{C\omega }}_2(f,n^{-1}{)}_p\mathrm{C\omega }(f,n^{-1}{)}_p\text{.}$ (4.6)

$\mathrm{Pf}-J_n(f)P_p{\mathrm{C\omega }}_2(f,n^{-1}{)}_p\mathrm{C\omega }(f,n^{-1}{)}_p\text{.}$ (4.6)

Ta sẽ chứng minh $S_n(f)$ là đa thức lượng giác bậc $n$. Để làm điều này ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.3 Cho hàm $g\in L_1(R)$ là hàm tuần hoàn chu kỳ $\mathrm{2\pi }/k$ , $k$ là số nguyên dương. Khi đó nếu $l\in Z$ không chia hết cho $k$ , thì

Vì răng $l$ không chia hết cho $k$ nên $\begin{array}{}{e}^{\text{ilt}/k}=1\\ \end{array}$, do đó ta có kết quả trên.

Từ định nghĩa của sai phân ta đã suy ra

Nhưng $K_{n,r}(t)$ là đa thức lượng giác chẵn, nên $S_n(f,x)$ là tổ hợp tuyến tính của các tích phân dạng

Vì $f(x+\text{kt})$ là hàm tuần hoàn chu kỳ $\mathrm{2\pi }/k$, nên theo Bổ đề trên (1.8) chỉ khác $0$ khi $l$ chia hết cho k. Khi đó chỉ cần đổi biến $u=x+\text{kt}$ và áp dụng công thức cộng cung của hàm số $\text{cos}$, ta sẽ nhận được $S_n(f)$ là một đa thức lượng giác bậc $n\text{.}$

Định lý 1.4 (Steckhin [1951])

Với $r\text{=1,2}\text{.}\text{.}\text{.}$, tồn tại hằng số $C_r$ sao cho

$E_n(f{)}_p{C}_r{\omega }_r(f,n^{-1}{)}_p,n\text{=1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{,1}p\infty \text{.}$ (4.9)

Proof. Ta có ${\omega }_r(f,t{)}_p(\text{nt}+1{)}^r{\omega }_r(f,n^{-1}{)}_p$ (tính chất của modul trơn). Sử dụng bất đẳng thức Minkowski,

bất đẳng thức cuối cùng có được do Bổ đề 4.1.1

Hệ quả 1.5 Nếu $f\in W_p^r$ , thì

$E_n(f{)}_p{C}_r{n}^{-r}{\omega }_r(f^{(r)},n^{-1}{)}_p\text{.}$

Hệ quả 1.6 Nếu $f\in H_p^{\alpha }$ , $\alpha \text{>0}$ , thì $E_n(f{)}_p=O(n^{-\alpha })$

Giả sử $f\in L_1(T)$. Ta nói $f$ có giá trị trung bình bằng không nếu

thì suy ra

Ta có

$\mathrm{2Pf}(x)-S_{­n}^{­°}(x)P_p=\mathrm{Pc}(0)+f(x)-S_n(x)P_p\mathrm{2Pf}-S_n{P}_p,1p\infty$ (4.11)

Từ (1.11) ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.7

$E_n(f{)}_{p}C\frac{1}{n}{E}_n(f^{\text{'}}{)}_p,\text{víi1}p\infty \text{,f}\in W_{\text{­p}}^{\text{­r}}\text{.}$

Proof. Gọi ${\stackrel{­:}{S}}_{­n}$ là xấp xỉ tốt nhất của $f^{\text{'}}$, và $S_n$ là tích phân tuần hoàn của $\stackrel{:}{S_n^{­°}}$. Do $f^{\text{'}}$ có giá trị trung bình không nên kết hợp (1.11) với Định lý Jackson ta có

$2E_n(f{)}_p=E_n(f-S_n{)}_p{\omega }_1(f-S_n,n^{­-1}{)}_{p}C\frac{\text{­1}}{­n}P{f}^{\text{'}}-\stackrel{:}{S_n^{­°}}{P}_p$

$\mathrm{2C}\frac{1}{n}P{f}^{\text{'}}-{\stackrel{­:}{S}}_{­n}{P}_p\text{=2}C\frac{1}{n}{E}_n(f^{\text{'}}{)}_p\text{.}$

Bằng cách lặp lại quá trình chứng minh trong bổ đề $r$ lần ta thu được kết quả sau:

Hệ quả 1.8

$E_n(f{)}_p{C}_r{n}^{-r}{E}_n(f^{(r)}{)}_p,f\in W_p^r\text{.}$ (4.12)

Ta kết thúc mục này bằng nhận xét sau:

Nhận xét 1.9 Các cận trên của sai số xấp xỉ $E_n(f{)}_p$ thường viết ở một trong các dạng sau:

Từ các tính chất của modul trơn ta có $(D)\Rightarrow (C)\Rightarrow (B)\Rightarrow (A)$ (chứng minh xem như một bài tập).

Xấp xỉ đồng thời

Dưới đây chúng ta sẽ xấp xỉ đồng thời $f$ và các đạo hàm $f^{(k)}$, $k\text{=1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},r$, bởi $T_n$ và các đạo hàm $T_n^{(k)},k\text{=1,}\text{.}\text{.}\text{.},r$.

Bổ đề 2.1 Cho $g\in L_p(T)$ , , hoặc $g\in C(T),p=\infty ,$ và đa thức lượng giác $T_n$ thoả mãn

$\mathrm{Pg}-T_n{P}_p\mathrm{K\omega }(f,n^{-1}{)}_p\text{.}$

Khi đó ta có

$P{T}_n^{\text{'}}{P}_P{K}_1\mathrm{n\omega }(g,n^{-1}),K_1\text{:=2}(K+1)\text{.}$

Proof. Đặt $h\text{:=}{n}^{-1}$, ta có

${\mathrm{PT}}_n(\cdot +h)-T_n(\cdot -h)P_p\mathrm{2Pg}-T_n{P}_p+\omega (f\text{,2}h{)}_{p}2(K+1)\omega (g,h{)}_p\text{.}$

Mặt khác sử dụng khai triển thành chuỗi Taylor của $T_n$ và sử dụng bất đẳng thức Bernstien ta có

Từ đây ta suy ra khẳng định trên.

Từ bổ đề trên ta đi đến định lý về xấp xỉ đồng thời

Định lý 2.2 (Czipszer và Freud [1958]) Cho $f\in W_p^r\text{,1}p\infty$ , và $T_n$ là đa thức xấp xỉ tốt nhất của $f$ . Khi đó

${\mathrm{Pf}}^{(k)}-T_n^{(k)}{P}_p{C}_r{E}_n(f^{(k)}{)}_p,k\text{=0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n\text{=0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},$

Proof. Định lý được chứng minh bằng quy nạy theo $r$.

Nếu $r\text{=0}$, thì hiển nhiên $k\text{=0}$. Do $T_n$ là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất $f$, nên định lý đúng với $r\text{=0}$.

Giả sử định lý đúng với $\begin{array}{}r=0\\ \end{array}$, ta chứng minh định lý đúng với $r+1$. Giả sử $f\in W_p^{r+1}$, ký hiệu $\stackrel{:}{S_n}$ là đa thức xấp xỉ tốt nhất $f^{\text{'}}$, và $S_n$ là tích phân tuần hoàn của $\stackrel{:}{S_n}-a(0)$,( $a(0)$ là hạng tử tự do của $\stackrel{:}{S_n}$). Sử dụng (1.11) và giả thiết quy nạp ta có

${\mathrm{Pf}}^{(k+1)}-S_n^{(k+1)}{P}_p{C}_r{E}_n(f^{(k+1)}{)}_p\text{.}$

Gọi $R_n$ là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất $f-S_n$. Khi đó ta có $T_n=R_n+S_n$, và

$P{R}_n^{\text{'}}{P}_p\text{Cn}\omega (f-S_n,n^{-1}{)}_p\mathrm{CP}{f}^{\text{'}}-S_n^{\text{'}}{P}_p{\text{CE}}_n(f^{\text{'}}{)}_p,$

trong đó bất đẳng thức thứ nhất là do Bổ đề 4.2.1, bất đẳng thức thứ hai là do bất đẳng thức Minkowski ( cụ thể hơn là tính chất của modul trơn), bất đẳng thức cuối cùng là do giả thiết quy nạp với $k\text{=0}$.

Sử dụng bất đẳng thức Bernstein và Hệ quả 4.1.8 ta có

${\mathrm{PR}}_n^{(k+1)}{P}_p{\text{Cn}}^{k}P{R}_n^{\text{'}}{P}_p{\text{Cn}}^k{E}_n(f^{\text{'}}{)}_p{\text{CE}}_n(f^{(k+1)}{)}_p\text{.}$

Ta có $\mathrm{Pf}-T_n{P}_p=E_n(f{)}_p$ và hơn nữa với $k\text{=0,1,}\text{.}\text{.}r$,

${\mathrm{Pf}}^{(k+1)}-T_n^{(k+1)}{P}_p{\mathrm{Pf}}^{(k+1)}-S_n^{(k+1)}{P}_p+{\mathrm{PR}}_n^{(k+1)}{P}_p{\text{CE}}_n(f^{(k+1)}{)}_p\text{.}$

Vậy định lý được chứng minh.

Nhựơc điểm của bất đẳng thức trên là đa thức xấp xỉ tốt nhất hiếm khi biết. Tuy nhiên, chúng ta cũng có cách khắc phục như sau:

Định lý 2.3 Cho $f\in W_p^r$ và $S_n\in T_n$ thoả mãn

$\mathrm{Pf}-S_n{P}_p{C}_r{n}^{-r}\omega (f^{(r)},n^{-1}{)}_p,n\text{=1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$

Khi đó ta có, với $n\text{=1,2,}\text{.}\text{.},$

${\mathrm{Pf}}^{(k)}-S_n^{(k)}P{C}_r{n}^{k-r}\omega (f^{(r)},n^{-1}{)}_p,k\text{=1,}\text{.}\text{.}\text{.},r,$

và

${\mathrm{PS}}_n^{(r+1)}{P}_p{C}_r\mathrm{n\omega }(f^{(r)},n^{-1}{)}_p\text{.}$

Proof. Gọi $T_n$ là đa thức xấp xỉ tốt nhất $f$. Ta có

${\mathrm{2PS}}_n-T_n{P}_p{\mathrm{PS}}_n-{\mathrm{fP}}_p+{\mathrm{PT}}_n-{\mathrm{fP}}_p{C}_r^{\text{'}}{n}^{-r}\omega (f^{(r)},n^{-1}{)}_p\text{.}$

Sử dụng bất đẳng thức Bernstein và Định lý 4.2.2 ta có

${\mathrm{2Pf}}^{(k)}-S_n^{(k)}{P}_p{\mathrm{Pf}}^{(k)}-T_n^{(k)}{P}_p+{\mathrm{PS}}_n^{(k)}-T_n^{(k)}{P}_p$

$C_r{n}^k{\mathrm{PT}}_n-S_n{P}_p+C_r{E}_n(f^{(k)}{)}_p$

$C_r{n}^{k-r}\omega (f^{(r)},n^{-1}{)}_p\text{.}$

Bất đẳng thức thứ hai của định lý được suy ra rừ Bổ đề 4.2.1 và bất đẳng thức thứ nhất với $k=r$. Vậy định lý được hoàn toàn chứng minh.

Các định lý ngược

Trong mục các Định lý thuận ta đã ước lượng các sai số xấp xỉ $E_n(f{)}_p$ thông qua modul trơn. Trong phần này chúng ta sẽ ước lượng ngược lại, tức là ước lượng các modul trơn thông qua sai số xấp xỉ.

Định lý 3.1 Cho $f\in ­L_p(\text{­T})$ , $1p\infty$ , $r\text{=1,}\text{.}\text{.}\text{.}$ . Khi đó tồn tại hằng số $C_r$ sao cho

Proof. Giả sử $T_n$ là đa thức xấp xỉ tốt nhất f. Khi đó với $m\text{=0,1}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$, và $h\text{:=}{n}^{­-1}$, ta có

${\omega }_r(f,h{)}_p{\omega }_r(f-T_{{\text{­2}}^{­m+1}},h{)}_p+{\omega }_r(T_{{\text{­2}}^{­m+1}},h{)}_p\text{.}$ (4.14)

Ta có

${\omega }_r(f-T_{{\text{­2}}^{­m+1}},h{)}_p{2}^r{E}_{{\text{­2}}^{­m+1}}(f)$

và

Với mỗi $n$, ta chọn $m$ sao cho Khi đó, từ bất đẳng thức (3.14) và (3.15), ta suy ra (3.13) với vế phải cộng thêm $E_0(f{)}_p\text{.}$ Lặp lại quá trình trên với $g\text{:=}f-c$, với $c$ là hằng xấp xỉ tốt nhất $f$, ta suy ra (3.13) đúng với $f$.

Vậy định lý được chứng minh.

Đặc biệt khi $r\text{=1}$, ta có

Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để một hàm thuộc $W_p^r$:

Định lý 3.2 Nếu hàm $f\in L_p(T)$ , $1p\infty ,r\text{=1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$ , thoả mãn điều kiện

thì $f\in W_p^r\text{.}$

Proof. Gọi $T_n$ là đa thức xấp xỉ tốt nhất $f$, ta có ${\mathrm{PT}}_{2^{\nu +1}}-T_{2^{\nu }}{P}_{p}2E_{2^{\nu }}(f{)}_p\text{.}$ Từ bất đẳng thức Bernstein ta có

Vì vậy $\{T_{2^{\nu }}\}$ là dãy Cauchy trong $W_p^r$. Do $W_p^r$ là không gian Bannach và $T_{2^{\nu }}\to f$ trong $L_p$, nên $f\in W_p^r\text{.}$

Từ Định lý 4.3.1 ta suy ra:

Hệ quả 3.3 Nếu

$E_n(f{)}_p=O(n^{-\alpha }),\alpha \text{>0,}n\text{=1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.},$ (4.17)

thì

Đặt $r=[\alpha ]+\text{1­,}$ thoả mãn $r>\alpha$, vì vậy từ (3.17) suy ra $f\in H_p^{\alpha }\text{.}$ Kết hợp với Hệ quả 4.1.6 ta có

Định lý 3.4 Với $\alpha \text{>0}$ , $1p\infty$ , hệ thức $E_n(f{)}_p=O(n^{-\alpha })$ tương đương với $f\in H_p^{\alpha }\text{.}$

Ví dụ 3 $E_n(f{)}_p=O(n^{-1})$ tương đương với $f\in Z_{\text{1,}p}\text{:=}{H}_p^1$ . Tuy nhiên không suy ra $f\in \text{Lip}(\text{1,}{L}_p)$ , với

Xấp xỉ bằng đa thức đại số

Cho $A=[a,b],$$f\in L_p(A)$. Sai số xấp xỉ tốt nhất $f$ bởi $P_n$ được cho bởi

$E_n(f{)}_p\text{:=}\underset{P_n\in P_n}{\text{inf}}\mathrm{Pf}-P_n{P}_p\text{.}$

Không mất tổng quát ta xét $A=[-\text{1,1}]$, nếu không thì ta dùng một phép thế tuyến tính đưa $A$ về $[-\text{1,1}]$. Chúng ta sẽ ước lượng $E_n(f{)}_p$ thông qua modul trơn, (định lý thuận). Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Vì tại gần các điểm cuối $\pm 1$ có các quy tắc đặc biệt trong xấp xỉ. Ví dụ một hàm $f\in C([-\text{1,1}])$ có thể được xấp xỉ tốt hơn khi $x$ gần $\pm 1\text{.}$

Định lý 4.1 Cho $f\in W_p^r(A)$ , $n>r$ , $r\text{=0,1,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$ , $1p\infty \text{.}$ Khi đó sai số xấp xỉ thoả mãn

$E_n(f{)}_p{\text{Cn}}^{-r}\omega (f^{(r)},n^{-1}{)}_p\text{.}$

Proof. Định lý được chứng minh bởi các bước sau:

Bước 1. Ta chứng minh với $f\in W_p^1(A)$,

$E_n(f{)}_p\frac{C}{n}P{f}^{\text{'}}{P}_p\text{.}$ (4.18)

Đặt $x\text{:=}\text{cos}t$ và $g(t)\text{:=}f(\text{cos}t)$. Khi đó $g$ là hàm chẵn, và $g\in W_p^1$ vì

Gọi $T_n$ là đa thức lượng giác xấp xỉ tốt nhất $g$. Theo hệ quả của Định lý thuận, ta có

${\mathrm{PT}}_n-{\mathrm{gP}}_p\frac{C}{n}P{g}^{\text{'}}{P}_p\text{.}$

Vì $g$ là hàm chẵn nên $T_n$ cũng là hàm chẵn, do đó tồn tại $P_n\in P_n$ sao cho $P_n(\text{cos}t)=T_n(t)\text{.}$ Ta có

$\mathrm{2Pf}-P_n{P}_p{2}^{-\text{1/}p}\mathrm{Pg}-T_n{P}_p{\text{Cn}}^{-1}P{g}^{\text{'}}{P}_p{\text{Cn}}^{-1}P{f}^{\text{'}}{P}_p$

$\Rightarrow$(4.18).

Bước 2 Ta chứng minh

$E_n(f{)}_p\mathrm{C\omega }(f,n^{-1}{)}_p,f\in L_p\text{.}$ (4.19)

Với $h\in W_p^1$, ta có

$2E_n(f{)}_p\mathrm{Pf}-{\mathrm{hP}}_p+E_n(h{)}_p$

$C\{\mathrm{Pf}-{\mathrm{hP}}_p+n^{-1}P{h}^{\text{'}}{P}_p\},$

do đó $E_n(f{)}_p{\text{CK}}_1(f,n^{-1})\mathrm{C\omega }(f,n^{-1})$.

Bước 3 Ta chứng minh, với $n\ge 1$, $f\in W_p^1$ :

$E_n(f{)}_p{\text{Cn}}^{-1}{E}_{n-1}(f^{\text{'}}{)}_p\text{.}$ (4.20)

Giả sử $P_n^{\text{'}}\in P_n$ là một đa thức xấp xỉ tốt nhất $f^{\text{'}}$. Gọi $P_n$ là một tích phân của $P_n^{\text{'}}$. Ta có

$E_n(f{)}_p=E_n(f-P_n){\text{Cn}}^{-1}P{f}^{\text{'}}-P_n^{\text{'}}{P}_p={\text{Cn}}^{-1}{E}_{n-1}(f^{\text{'}}{)}_p\text{.}$

Từ (4.19) và (4.20) ta suy ra định lý bằng cách lặp lại $r$ lần các bước trên.

Định lý 4.2 Cho $1p\infty ,r\text{=1,}\text{.}\text{.}\text{.}$ . Khi đó tồn tại hằng số $C_r\text{>0}$ sao cho: với $f\in L_p([-\text{1,1}])$ ,

$E_n(f{)}_p{C}_r{\omega }_r(f,n^{-1}{)}_p,n\ge r\text{.}$

Proof. Giả sử $g\in W_p^r$. Ta có

$E_n(g{)}_p{C}_r{n}^{-r}\omega (g^{(r)},n^{-1}{)}_p{C}_r{n}^{-r}{\mathrm{Pg}}^{(r)}{P}_p\text{.}$

Vì vậy với $f\in L_p$, ta có

$2E_n(f{)}_{p}C(\mathrm{Pf}-{\mathrm{gP}}_p+E_n(g{)}_p)$

$C_r(\mathrm{Pf}-{\mathrm{gP}}_p+n^{-r}{\mathrm{Pg}}^{(r)}{P}_p)$

$C_{r}K(f,n^{-r};L_p,W_p^r)C_r{\omega }_r(f\text{,1/}n{)}_p$

Nhận xét 4.3

(i) Không có bất đẳng thức đảo đối với Định lý 4.4.2.

(ii) Tuy nhiên khi Ta có

Nhưng bất đẳng thức này không đúng cho $I=[-\text{1,1}]$!

Bài tập

Bài tập 1 Chứng minh nhân Jackson tổng quát $K_{n,r}$ (xem mục 4.1) là đa thức lượng giác không âm, chẵn, có bậc $n\text{.}$

Bài tập 2 Cho . Chứng minh rằng

$f\in \text{Lip}(\alpha ,L_p)\iff \mathrm{Pf}-{\sigma }_n(f)P_p{\text{Cn}}^{-\alpha }\text{.}$

Bài tập 3 Chứng minh rằng $(D)\Rightarrow (C)\Rightarrow (B)\Rightarrow (A)\text{.}$ (Nhận xét 4.1.9)