Các khái niệm cơ bản

Giả sử $X$ là một không gian của các hàm xác định trên $A$, $f\in X$. Ta cần tìm hàm đơn giản (thuận tiện cho tính toán) $\phi$ từ một tập con $\Phi$ của $X$ sao cho $f$ rất gần với $\phi$.

Không gian $X$ thường là không gian định chuẩn hoặc là không gian Bannach của các hàm xác định trên $A$, chẳng hạn như $C(A),L_p(A)$ víi $1„p„\infty \text{.}$ Khi $X$ là không định chuẩn thì khoảng cách giữa $f$ và $\phi$ được đo bằng $\mathrm{Pf}-{\mathrm{\phi P}}_X$. Đại lượng $\mathrm{Pf}-{\mathrm{\phi P}}_X$ được gọi là sai số xấp xỉ $f$ bëi $\phi$. Tập con $\Phi$ là một tập các hàm số có tính chất đơn giản, thuận tiện cho tính toán. $\Phi$ được gọi là không gian xấp xỉ. Dưới đây là một số không gian xấp xỉ quan trọng.

(a) $\Phi =P_n$ là một tập các đa thức đại số bậc nhỏ hơn hoặc bằng $n$, tức là tập các hàm có dạng

$P_n$ thường dùng để xấp xỉ các hàm xác định trên $[a,b]$.

(b) $\Phi =T_n$ là tập các đa thức lượng giác bậc nhỏ hơn hoặc bằng $n$, tức là các hàm xác định trên $T$ có dạng

Hoặc

$a_k{e}^{\text{ikx}}\text{với}\mid a_{-n}\mid +\mid a_n\mid =0\text{.}$

$T_n$ thường dùng để xấp xỉ các hàm xác định trên $T$.

(c) Lớp các hàm spline.

(d) Lớp các sóng nhỏ.

Chúng ta đã biết rằng khi $A$ là tập compact thì $C(A)$ là không gian Bannach với chuẩn

$\mathrm{PfP}\text{:=}\underset{x\in A}{\text{max}}\mid f(x)\mid \text{.}$

Hai định lý dưới đây sẽ gải quyết vấn đề trên cho trường hợp $X=C(A)$ với $A=[a,b]\text{hoặc}T$.

Định lý 1 ( Weierstrass-1 ) Mỗi hàm $f$ liên tục trên đoạn $[a,b]$ có thể xấp xỉ bằng đa thức đại số với độ chính xác tuỳ ý, nghĩa là với mỗi $\epsilon \text{>0}$ , tồn tại đa thức đại số $P$ sao cho

$\mathrm{Pf}-{\mathrm{PP}}_{C([a,b])}„\epsilon \text{.}$

Định lý 2 ( Weierstrass-2 ) Mỗi hàm $f$ liên tục trên $T$ có thể xấp xỉ bằng đa thức lượng giác với độ chính xác tuỳ ý, nghĩa là với mỗi $\epsilon \text{>0}$ , tồn tại đa thức lượng giác $T$ sao cho

$\mathrm{Pf}-{\mathrm{TP}}_{C(T)}„\epsilon \text{.}$

Hai định lý này được chứng minh trong các mục sau, dựa vào các tính chất của một số toán tử tuyến tính đặc biệt.

Xấp xỉ bằng toán tử tích phân

Định lý Korovkin

Định lý Korovkin sẽ cung cấp cho chúng ta một cách tiếp cận khác để đi đến các Định lý Weierstrass. Định lý Korovkin khẳng định rằng: Đối với một dãy các toán tử tuyến tính xác định dương $\{U_n\}$ ( $U_n$ ¸nh x¹ $C(A)$ vào chính nó), sự hội tụ ${\mathrm{PU}}_n(f)-{\mathrm{fP}}_{C(A)}\to \text{0,}\forall f\in C(A)\mathrm{có\; thể\; được\; suy\; ra\; từ\; sự\; hội\; tụ\; này\; đối\; với\; một\; dãy\; hữu\; hạn\; các\; hàm\; thử}$

${\{g_n\}}_{n\text{=1}}^m\subset C(A),$ trong đó $A$ là một không gian compact Hausdorff.

Cho $f$ là một hàm xác định và liên tục trên $A$, ta viết $f\ge 0$ nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in A$. Khi đó ký hiệu $f\ge g$ được hiểu là $f-g\ge \text{0,}$ và hàm $\mid f\mid$ được hiểu là $\mid f\mid (x)=\mid f(x)\mid ,x\in A\text{.}$

Một toán tử $U$ ánh xạ $C(A)$ vào chính nó được gọi là toán tử xác định dương nếu $U(f)\ge U(g)$ với mọi $f\ge g\text{.}$ Một toán tử tuyến tính xác định dương thì bị chặn, $\mathrm{PUP}=\mathrm{PU}(1)P$.

Định lý 3.1 Giả sử rằng tồn tại một dãy các hàm thực liên tục ${\{a_i\}}_{i\text{=1}}^m$ xác định trên $A$ sao cho

(i)

$m{a}_i(y)g_i(x)\ge \text{0,}\forall x,y\in A\text{.}$ (1.13)

(ii)

$P_y(x)\text{=0}\text{nếu và chỉ nếu x=y}\text{.}$ (1.14)

Khi đó với mỗi dãy toán tử tuyến tính xác định dương $\{U_n\}$ trên $C(A)$, sự hội tụ

$U_n(g_i)\to g_i,n\to \infty i\text{=1,}\text{.}\text{.}\text{.},m$ (1.15)

kéo theo

$U_n(f)\to f,n\to \infty ,\forall f\in C(A)\text{.}\mathrm{(1.16)}$

Proof. Xét hàm số $n{a}_i{g}_i(x)$. Lấy hai điểm cố định $y_1,y_2\in A$ sao cho $\begin{array}{}{y}_1=y_2\\ \end{array}$. Đặt

$P^{}\text{:=}{P}_{y_1}+P_{y_2}\text{.}$

Do (3.13) và (3.14) nên $P^{}(x)\text{>0,}x\in A$. Nếu tất cả các hàm hệ số $a_i,i\text{=1,}\text{.}\text{.}\text{.},m,$ là hàm hằng, thì do (3.15), $U_n(P,x)$ hội tụ đều theo $x$ đến $P(x)$. Nếu $x=y$, thì do (3.14), (3.15) và các hàm $a_i$ bị chặn, $i\text{=1,}\text{.}\text{.}\text{.},n$, ta suy ra

$m{a}_i(y)g_i(y)\text{=0,}\text{đều theo y}\text{.}$

Chọn số $a\text{>0}$ sao cho $\text{1=}{e}_0(x)„{\text{aP}}^{}(x),x\in A\text{.}$ Khi đó

$U_n(e_0,x)„{\text{aU}}_n(P^{},x)\to {\text{aP}}^{}(x),n\to \infty \text{.}$

Vì vậy tồn tại một số $M_0\text{>0}$ sao cho

${\mathrm{PU}}_n(e_0)P„M_0\text{.}$

Ta cần đến kết quả sau: Cho $f_y\in C(A),y\in A$ là một họ các hàm sao cho $f_y(x)$ là hàm liên tục theo $(x,y)\in A\times A$ và $f_y(y)\text{=0,}\forall y\in A\text{.}$ Khi đó

$U_n(f_y,y)\to \text{0,}\text{đều theo y khi n}\to \infty \text{.}$ (1.17)

Để chứng minh (3.17), xét $\epsilon \text{>0}$ và tập đường chéo của $A\times A$, $B\text{:=}\{(y,y):y\in A\}$. Mỗi một điểm $(a,a)$ của $B$ có một lân cận $V_a$ trong $A\times A$ sao cho với mọi $(x,y)\in V_a$. Gọi $G=\underset{a\in A}{}{V}_a$, vì $G$ là một tập mở, nên phần bù $F$ của là tập đóng, do đó $F$ là tập compact (vì $A$ compact ). Ta xác định các số $m,M$ bởi

$m\text{:=}\underset{(x,y)\in F}{\text{min}}{P}_y(x)\text{>0;}M\text{:=}\underset{(x,y)\in F}{\text{max}}\mid f_y(x)\mid \text{.}$

Nếu $(x,y)\in G$, thì . Nếu $(x,y)\in G$, thì $\mid f_y(x)\mid „\frac{M}{m}{P}_y(x)$. Vì vậy

$\mid f_y(x)\mid „\epsilon +\frac{M}{m}{P}_y(x)$ (1.18)

Từ (3.18) ta có

$2\mid U_n(f_y,y)\mid „{\mathrm{\epsilon U}}_n(e_0,y)+\frac{M}{m}{U}_n(P_y,y)$

$„M_0\epsilon +\frac{M}{m}{U}_n(P_y,y)„(M_0+1)\epsilon ,\text{với n đủ lớn}\text{.}$

Từ đây suy ra (3.17).

Bây giờ ta có thể hoàn thành việc chứng minh định lý. Với mỗi $f\in C(A)$, đặt

$f_y(x)\text{:=}f(x)-\frac{f(y)}{P^{}(y)}{P}^{}(x)\text{.}$

Chúng ta vừa mới chỉ ra $U_n(f,y)-\frac{f(y)}{P^{}(y)}{U}_n(P^{},y)$ hội tụ đều về không theo $y$ khi $n\to \infty$ và vì $U_n(P^{},y)$ hội tụ đều đến $P^{}(y)$, nên ta thu được (3.16).

Nhận xét 3.2 Sử dụng Định lý Korovkin với các hàm thử $g_1\text{=1,}{g}_2=x,g_3=x^2$ trên $[\text{0,1}]$ và

$P_y(x)=(y-x{)}^2=y^2{g}_1-2{\text{yg}}_2+g_3,U_n=B_n,$

trong đó $B_n$ là toán tử Bernstein, ta suy ra Hệ quả 1.2.4.

Tương tự , trên $T$, ta có thể xét $g_1=x,g_2=\text{cos}x,g_3=\text{sin}x,$ và $P_y(x)\text{=1}-\text{cos}(y-x)$, $U_n={\sigma }_n$, áp dụng định lý Korovkin ta suy ra Hệ quả 1.2.3.

Bài tập

Bài tập 1 Giả thiết Định lý Weierstrass cho hàm tuần hoàn là đã chứng minh, hãy chứng minh ${\sigma }_n(f,x)$ hội tụ đều đến $f(x)$ khi $n\to \infty \text{.}$

Bài tập 2 Cho ${\{Q_n\}}_{n\text{=1}}^{\infty }$ là đa thức đại số, $Q_n$ có bậc $m_n$ , $Q_n(x)$ hội tụ đều đến $f(x)$ khi $n\to \infty ,$ $x\in [a,b]$ . Chứng minh rằng nếu $f$ không phải đa thức thì $m_n\to \infty$ , khi $n\to \infty$ .