Chương này là một bước chuẩn bị để dẫn tới các định lý trung tâm của lý thuyết xấp xỉ. Chúng ta sẽ nghiên cứu một số không gian hàm có liên quan đến độ trơn của hàm số, như là: không gian Sobolev, không gian Lipschitz, không gian H
Một số khái niệm cơ bản, không gian LP(A), -C(A)
Nếu không nói gì khác, ta vẫn xét miền xác định của hàm số là R,R+,T hoặc [a,b].
Không gian –C(A)
Không gian -C(A) gồm tất cả các hàm thực (hoặc phức), xác định và liên tục trên I -(A) là không gian định chuẩn, với chuẩn
Ký hiệu -C(A) là không gian con của -C(A), gồm tất cả các hàm
Không gian C-r(A) gồm tất cả các hàm khả vi liên tục cấp
Không gian Lp(A)
Không gian Lp(A) gồm tất cả các hàm f khả tích cấp
Khi
Dạng rời rạc của Lp là
Hai bất đẳng thức đặc trưng của không gian Lp(A) là
Nếu
Không gian các hàm khả vi: Không gian Sobolev
Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu một vài tính chất cơ bản của không gian Sobolev.
Ta đã biết rằng hàm
Giả sử
Đa thức Taylor và bất đẳng thức đạo hàm
Cho
hoàn toàn được xác định, và được gọi là đa thức Taylor của
Chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng ước lượng sau đối với phần dư.f – Tr-1